img024 2

Egzamin pisemny z matematyki - lMiR, rok I

Część zadaniowa.

(Każde zadanie będzie oceniane w skali 0-10 punktów.)

Zl. Znaleźć punkt, w którym powierzchnie

- - .......    — x -r 2y — In z -f-4 = 0 oraz x~_ — zy — 8x t:t-5 = 0

/

są styczne, to znaczy mają wspólną płaszczyznę styczną.

Z2. Pokazać, że pochodna kierunkowa funkcji..................................... _______„.....

* Z    .

f(z,y,:) =

.... w każdym punkcie krzywej o równaniach param etnicznych

r(t) = 1 -f- cos t . y(t) — 1 *f* sin t , z(t) — sini -f 2 cos i * ^

w kierunku wyznaczonym przez styczną do tej krzywej jest równa zero.

j/j3. .Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą (z² -f* y²)² — x² — y².

( 24! Obliczyć całkę •

j j J- \Jz² -f y²dxdydz

_ po obszarze V ograniczonym powierzchniami z² y² — z² oraz z — 1.

N    #

.Zo.\ Pokazać, że funkcja    ....

•    /(-, y) = r³ - 3ry² -f iSy

rozpatrywana przy warunku

3 x²y — y² — 6r = 0

ma ekstrema w punktach iY(v3. V3) oraz P₂(-v3. -\/3). Jakie to są ekstrema