matma14

wykorzystujemy do wyznaczania rozwiązania ogólnego równania cząstkowego. Np. dla równania

xu_x + 2 w = y mamy układ charakterystyk ~ = — = —. Tworzymy z niego dwa równania. Rozwiązaniem

'    x

2 y

dx _dy . x 2

np. równania — = jest y - 2łn|x| + C, a równania ~ = — jest u = y² +D . Wyznaczamy stąd stałe

. dy du .

2 T

C-y - 21n|x|, D-u-y². Rozwiązanie ogólne równania cząstkowego ma w związku z tym postać

F(y - 21n|x|,w - y² )= 0, gdzie F jest dowolną funkcją dwóch zmiennych. Szukana funkcja u nie więc tu podana

wprost ale w postaci uwikłanej.

7. Rozwiązać: \)u_x + 2xyu_y = 2u² 2)u_x +u_y =2u 3)uu_x- yu_y 4) xu_x + yu_y = u 5)u_x sin x + u_y siny = sin u

6)yuu_x +xuu_y-xy l)~u_x -~u_y =u-5 %)xu_x-2yu_y=u-x² 9) xu_x + yu_y + 3zu_z - 4u

Wykorzystać: są to równania ąuasiliniowe. Rozwiązujemy je tak samo jak równania liniowe niejednorodne.

8. Rozwiązać: 1 )u_x +(2e^x -y)u_y = 0, u-y dla x = 0 (czyli u(Q,y) = y 2)xu_x =2yu_y +zu_z,

«(l,.y,z) = y² +sinz 3)xu_x + yzu_z = 0, u(x,y,l) = x^y 4)2yu_x=u_y, «(x,0)=sinx + e^x 5)(l + x²]w_x +—xyu_y =0

u(0,y) = y³ 6)yu_x+zu_z =0, u(x,y,l) = x² + arctgy 7)(z-yfu_x + zu_y + yu_z =0, u(0,y,z)=2y(y~z)

8) xyu_x + yu_y = w, x = t, y-t, u-t² 9) x(y² + u)u_y - y(x² + u)u_y = (x² - y²    , x + y = 0 , z-1

10)2yuu_x + y = 2w_y, y² -4u² =36, x + « = 5 11 )yu_x +uu_y = y, x² +y² =1, x + u = 0

12)4xu_x +-Jyu_y +-Jzu₂ =0, w(l,y,z)=y-z I3)xu_x +yu_y =u, x = t², y-2t, u = 1

Wykorzystać: najpierw wyznaczamy rozwiązanie ogólne danego równania a potem wykorzystujemy podane

warunki. Np. dla xu_x + yu_y = 0, «(l,y) = y: rozwiązanie ogólne jest postaci u = F — . Podany warunek

W

oznacza, że F

UJ

= y. Teraz przyjmujemy a = ~ i otrzymujemy F(#) = — co oznacza, że szukane

y    o

rozwiązanie szczególne jest postaci u-— (za a wstawiamy — ). Np. dla xu_x + yu_y -zu_z=0, F(x, 1, z) = x + z :

x    y

. Podany warunek oznacza, że    ,xzj - x + z. Teraz

fi )

—,xz

Vx J

u )

rozwiązanie ogólne jest postaci u-F

przyjmujemy, że a = —, b-xz i stąd wyznaczamy x i z. Po wstawieniu do F

x

1

= x + z otrzymujemy, że

F(a,b) = — +ab . Stąd wynika, że szukane rozwiązanie szczególne jest postaci u = — + yz (do F(a,b) = — +ab a    y    a

za a wstawiamy ~, za b zaś xz ). Gdy rozwiązanie równania jest postaci F(/(x, y, u\g(x, y, w)) = 0 wówczas

przekształcamy układ równań złożony z podanych warunków oraz równań C = /(x,y,w), Z) = g(x,y,u) tak, aby uzyskać równanie, w którym wystąpią tylko C i D, a następnie w ich miejsce wstawiamy funkcje f i g. Tak otrzymane równanie będzie szukanym rozwiązaniem szczególnym. Np. dla 2uyu_x +y = 2u_y, y² - 4u² = 36,

f    1    ^

x + u = 5: rozwiązanie ogólne jest postaci F u —y² ,x + u² = 0. Mamy więc układ równań: y² - 4u¹ = 36,

v    4    )

1 2 ₂

x + « = 5,C = m-—y , D = x + u .Po jego przekształceniu otrzymujemy równanie C + D + 4 = 0 co oznacza, że rozwiązaniem szczególnym jest w-iy²+x + w²-t-4 = 0.