Zarz Ryz Finans R1386

386 Zarządzanie ryzykiem finansowym

wygaśnięcia kontraktu E\C*] zdyskontowanej według ogólnorynkowej stopy r. Zatem:

C = e~^rTE[C*} (13.11)

gdzie T oznacza czas do wygaśnięcia kontraktu opcyjnego. Jeśli założymy dalej, że rozkład cen akcji w każdym przyszłym terminie będzie logarytmiczno-normalny, równanie 13.11 można wyrazić w postaci:

C = e~^rT f(5*-Jf) L' ( S*)dS* (13.12)

gdzie L'(S*) jest logarytmiczno-normalną funkcją gęstości.

Równanie 13.12 jest scałkowane z wykorzystaniem twierdzenia wykazanego przez Cliffa Smitha (1976). Wynikiem tego całkowania jest rozwiązanie Blac-ka-Scholesa dotyczące problemu wyceny europejskiej opcji kupna:

C = STN-

1" (§)+('- + ’ Oyff

'■)T

X*N<

In (|) +(r-ojf

\)T

(13.13)

gdzie N{.) jest dystrybuantą rozkładu normalnego.

Jak przewidywaliśmy na podstawie wyników otrzymanych w rozdziale 12, model Blacka-Scholesa wyceny opcji zawiera tylko pięć zmiennych:

+ - + + +

C = C (S, X, T, r, o)

gdzie znaki nad zmiennymi odpowiadają znakom odpowiednich pochodnych cząstkowych. Mają one swoje intuicyjne interpretacje:

• Gdy cena akcji rośnie, oczekiwany dochód z opcji rośnie.

• Przy wyższej cenie wykonania oczekiwany dochód z opcji maleje.

• Przy dłuższym czasie do wygaśnięcia wartość bieżąca płatności z tytułu wykonania opcji jest niższa, toteż wartość opcji wzrasta.

• Przy wyższej stopie procentowej wartość bieżąca płatności z tytułu wykonania opcji jest niższa, toteż wartość opcji wzrasta.

• Przy większej zmienności ceny akcji bazowej (łub dłuższym czasie do wygaśnięcia opcji) prawdopodobieństwo dużej zmiany ceny akcji w okresie otwarcia opcji jest większe. Ponieważ cena opcji kupna nie może być ujemna, większy zakres możliwych cen akcji powiększa maksymalną wartość opcji, nie obniżając wartości minimalnej.

Ilustracja 13.4 przestawia graficznie relację pomiędzy wyceną Blacka-Scholesa opcji kupna oraz ceną akcji (przy ustalonych trzech parametrach: cenie wykonania, czasie do wygaśnięcia oraz bezpiecznej stopie procentowej).