Macierze i wyznaczniki8

78

Macierze i wyznaczniki

Stosując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznaczników (powodujące obniżenie ich stopni) obliczyć:

<M	1	-1	2
-1	2	1	4
1	0	1	-1
3	-1	4	0

1	0 1 2	12
2	0 1 1	4
2	1 1 -1	3
3	2 -1 1	8
1	1 1 0	6

Rozwiązanie

Celem przekształceń będzie uzyskanie w wybranym wierszu lub kolumnie wyznacznika tylko jednego elementu niezerowego (najlepiej jedynki). Wtedy zastosowanie rozwinięcia Laplace’a względem tego wiersza lub tej kolumny spowoduje obniżenie o 1 stopnia obliczanego wyznacznika. Do przekształceń będziemy wybierać wiersze lub kolumny zawierające „wiele” zer i „małych” liczb całkowitych, co znacznie uprości obliczenia.

a) Wykonując wskazane operacje elementarne na wierszach otrzymamy

2	0	-1 2		2	1	-1	2
-1	2	1 4	— 2u.'x _	—5	0	3	0
1	0	1 -1	104 + WJ	1	0	1	-1
3	-1	4 0		5	0	3	2

	-5 3 ipp		-5 3 0
1 • (-1)^1+2	1 1«j|| |	— =	1 1 -1
	5 3 2		7 5 0

2+3

= 46

-5 3 7 5

b) Wykonując zaznaczone operacje elementarne na wierszach mamy 0

KJ.1

K’5

1    o

2    O 2 1

-1 O -1 O

12

4

3

2

3

= 1 • (-1)³⁺²

^a.*»

|ff|

U'j

1 1 2 12 O -1 -3 -20 0-2    5    W

0    1    3    15

		20 14 15			i	3	20 54
=	1 ^1 1 —2 5		U’2 + J u.'3 — u-‘i		0 0	11 0
	1 ^3						— 5

Przykłady

79

• Przykład* 3.15

Korzystając z algorytmu Chió obliczyć podane wyznaczniki:

a)

6	3	-2
7	2	5
4	1	-2

1	3	5	2
2	4	7	-1
2	-2	6	3
4	00 1	1	1

Rozwiązanie

Algorytm Chió pozwala obliczać wyznaczniki przez kolejne obniżanie, ich stopni. Wyznacznik macierzy kwadratowej A = [ay] stopnia n > 3, w której element a_n jest niezerowy, wyraża się wzorem

det A =

1

(ai.r²

a₂2 fl23 ■ ■ ■ ^a2n

II    I

32    «33    • ■ • ^a3n

II    /

&ri3 • • •

gdzie a_{j

«n Clij Cli l Clij

dla 2 i,j ^ n.

a) Postępując zgodnie z algorytmem Chió otrzymamy

				6 3		6 -2
6	3 -2	l		7 2		7 5
7	2 5
4	1 -2	63-2		6 3		6 -2
				4 1		1 to

1	-9 44	1	3 -11
6	-6 -4	■ -.(-3). (-4).	2 1

2 • 25 = 50.

b) Stosując dwukrotnie algorytm Chió kolejno otrzymamy

1	3 5 2
2	4 7-1
2	-2 6 3
■1	-3 1 1

1 3		1	5		1 2
2 4		2	7		2 -1

1 3		1 5		1 2
2 -2		2 6		2 3
1 3		1 5		1 2
4 -3		4 1		4 1

	-2	-3 -5
=	-8	-4 -1
	-15	-19 -7

-2 -3 -8 -4

-2    -3

-15 -19

-2 -5 -8 -1

-2 -5 -15 -7

1

(-2)3-2

	-16 -38		8 19
l 2/	-7 -61		7 61

-355.