img022

PRACA I ENERGIA

Aby wyznaczyć prędkość maksymalną na drodze obliczamy pochodną funkcji \(s) po j i przyrównujemy ją do zera. Otrzymujemy

d v ₌    sin n-sfe cos g__g

J2g sin a-gb cos a s²

Stąd

sin a-sb cos a = 0.

Jak widać z powyższej zależności prędkość jest maksymalna dla

sin aj

czyli w połowie drogi Sj i wynosi

g b cos a 59, Deska o masie m i długości / leży na granicy zetknięcia dwóch stołów. W chwili początkowej znajduje, się ona w całości na stole pierwszym. Jaką minimalną pracę należy wykonać, aby przesunąć ją ze stołu pierwszego na drugi, jeżeli współczynniki tarcia pomiędzy deską a stołem wynoszą /i i/2, odpowiednio dla pierwszego i drugiego stołu.

	Ą-» /
	. 7'l .T2

l-X    0    X    X

Przesunięcie deski z jednego stołu na dragi wymaga wykonania pracy pewną silą F, która będzie co najmniej równa lub większa od siły tarcia T pomiędzy deską a płaszczyznami stołów. Jak wynika z rysunku zamieszczonego poniżej siłę tarcia T można w tym przypadku zapisać jako sumę sił T\ i Tb będących siłami tarcia pomiędzy deską i, odpowiednio, stołem pierwszym i drugim. Zgodnie z rysunkiem wartości tych sił zależą od tego, jaka część deski znajduje się na stole pierwszym, a jaka na drugim. Wprowadzając oś OX układu współrzędnych w kierunku przesuwu deski z początkiem w punkcie styku stołów widzimy, że na stole pierwszym znajduje się (l-x)/l deski, a na stole drugim x/l. Stąd siła nacisku deski na stół pierwszy wyniesie (l-x)mg/l, a na stół drugi xmg/l. A więc odpowiednie wartości sił tarcia T\ i T2 są równe

T1 =/l ~i^ŁmS< ^t2 =flTⁿg>

a stąd

T - T_x + T₂ = [/j(/-.i)+/₂.x]^-.

Zgodnie z definicją, praca W wykonywana siłą F w przypadku jednowymiarowym wynosi

Xl

W~ J Fdx, xi

gdzie x\i xi oznaczają położenie początkowe i końcowe ciała. W naszym przypadku .11 =0, a.X2 = /, natomiast siła F, w przypadku pracy minimalnej będzie dokładnie równa wyznaczonej sile tarcia T.

Czyli: a stąd po dokonaniu prostych obliczeń otrzymujemy:

W

rr p-

mgl,

Culka o promieniu R pływa w cieczy o gęstości p, przy czym jest w niej zanurzona do potowy swej objętości. Jaką pracę należy wykonać, aby wydobyć kulkę nad poziom cieczy ?

Na zanurzoną do połowy swej objętości pływającą kulkę działają dwie równoważące się siły - siła ciężkości F_coraz siła wyporu F_w równa ciężarowi cieczy wypartej przez połowę objętości kulki

F_w = jnR³pg.

Mamy więc

F_c - F_w = jnR^Jpg.

Przy wyciąganiu kulki z cieczy siła ciężkości i siła wyporu nie równoważą się wzajemnie i siła wypadkowa działająca na kulkę wynosi

F = F_c- F_w{h),

gdzie siła wyporu F_w zależy od głębokości zanurzenia kulki F_w = Vpg, a V jest objętością czaszy kulistej o wysokości h i promieniu R. Wzór na V otrzymuje się sumując objętości dK plasterków o promieniu r i grubości dx (rys.).

Objętość dV =nr~dx a r² = R² - (R-.r)² = 2Rx -.t².

Objętość czaszy kulistej o wysokości h równa jest następującej calce

V- n HlRx-x²)dx = n(Rx² —    )| ^ = jnh²(2R-h).

Zatem wypadkowa siła działająca na kulkę wynosi

F=jnR³pg-jnh²(3R-h)pg.

Siła ta rośnie w miarę wynurzania kulki. Aby wydobyć kulkę na powierzchnię należy działać na nią siłą równą sile F co do wartości, ale przeciwnie skierowaną, na drodze R. Zostanie przy tym wykonana praca

R

W = J Fdr,

0

gdzie x=R-h.

61