IV�la

Wartość największą i najmniejszą funkcji ciągłej naprzedziale domkniętym) est osiągnięta wmiej scu zerowania się pochodnej lub punkcie nieróżrńczkowalności lub też na końcachprzedziału

Reguła deL^fHospitala dla nieoznaczoności¹ Jeśli funkcje fig spełniają warunki:

a) linv._Xo fOO =    = 0 przy czym g(x>0 dla x G (x₀ - 5, x₀ + 6)

b) istnieje granica    —— (właściwa lub niewłaściwa) tolim^* — = lim_x__x ¹-—

Reguła deL’HospitaIa dla nieoznaczoności¹ Jeśli funkcje fig spełniaj ąwarunki: aJKm^/C*) = lim _X^g(x) = co

b) istnieje granica lim_x__x —— (właściwa lub niewłaściwa)

°9 00

to lim_x__Jf — = lim*

*    ⁰ 91*)    ^X

Wzór Taylora

/O) = /(x₀) + ^J—jr~(* ~ *o) +

2!

(*-x₀)² +

/^Cn) (c)

(n — !)•'

gdzie c G (x₀,x). Wyrażenie -——

Zakładany tutaj, że funkcje f. f. f T^a: istniej e na przedziale (xo, x)

n:

([x — x₀)^K nazywamy n-ta resztą Ła^mgej..

’,... .F*"¹' są ciągłe na przedziale [xo.x]. a pochodna

'^vMr)Mm®|z resztą kźZBJl&Zź

+ i—gdzie cg (0,x).

/(x)=/(o)₊^x+^+...+ę^

Wklęsłość i wypukłość funkcji

Funk ej ę y^fix) nazywamy w klesi;: wprzedziale (a. b). gdy j ej wykresleży pod styczną do niej wpunkcie A=(xo_: f(xo)) dla każdego xo G(a. b). Jeżeli f ’(x) <0 dla xG (a. b) to X=f(x)j est wklęsła wprzedziale (a. b).

Funkcj ę y=$x)nazywamy wypukłą wprzedziale (a. b). gdy j ej wykres leży nadsty czną do niej wpunkcie A=(xo, f(xo)) dla każdego xo G(a. b). Jeżeli f ’(x) >0 dla xG (a. b) to y=£(x)jest wypukła wprzedziale (a. b).

Punkty przegięcia wykresu funkcji

Funkcj a może mieć punkty przegięcie jedynie wpunktachzerowania siej ej drugiej pochodnej albo wpunktach wktórychta pochodna nie istniej e.

I    warunek wy starczający na istnienie punktu przegięcia

Jeżeli funkcj ay^£(x)j est dwukrotnie różniczkowalna wpewnym otoczeniu punktuxo orazf’(xo)=0 oraz:

₃r > o [/"(*) < ⁰ dla każdego x G (x₀ — 5, x₀)

1/ (x) > 0 dla każdego x G (x_c,x₀ + 5)

albo

36 >0 W ^ ^{> 0} dla każde9° ^x e (*o ~ ⁵’^xo)

1/ (x) < 0 dla każdego x G (x_0Jx_a 4- ó) to A=(xo. f(xo)) j est punktemprzegięcia wykresu funkcji.

II    w a runek wy sta rcza jacy istnienie punktu przegięcia Jeśli funkcja spełnia w arunki

•/“<* o) = / M = - = /ⁱⁿ-^ł)Oo) = 0

•/°°C*o)*0

• nj est liczbą nieparzystą, gdzie n>3 to (xo. f(xo))j est punktemprzegięcia

Całkowanie przez części

Jeżeli funkcje figmają ciągłepochodne. to

I f(x)g(x)dx = f(x)_S(x)-J f (x)g(x)dx Całkowanie przez podstawienie

/ f(x)dx = f f(<p(t))<p (t)dt = F(<p(t) + C gdzie Fjest funkcjąpierwotną funkcji f f h (x)dx = h(x) + C₅ /y—-dx = łn|fc(x)| + C