str259

§ 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 259

wówczas z równania (1) otrzymujemy

d²U ~dx²

Po uwzględnieniu warunku początkowego (2) mamy

d²U

₂ = sU—w(x, 0).

(5)

dx²

,—sU — 0.

Obecnie transformujemy warunki brzegowe (3) i (4)

(6)    1/(0, s) = 0,

(7)

U(a,ś)=—.

s

Wyznaczamy rozwiązanie równania (5) spełniające warunki brzegowe (6) i (7). Rozwiązaniem ogólnym równania (5) jest funkcja

U(x, s) = A cosh _v' jx + 5sinh yjsx.

Z warunku (6) mamy

C/(0, s) = /4 = 0,

natomiast z warunku (7) wyznaczamy B

^Uo „ . Uo ^s    ssinhvsa

Transformatą szukanej funkcji u(x, t) jest

t/₀sinhVsx

(8)

/ “    Uq

U(a, s) = iłsinh vsfl=—, B =

f/(x, s) =

ssinh \J s a

Nad funkcją (8) dokonujemy transformacji odwrotnej w celu uzyskania oryginału m(x, t). Biegunami funkcji (8) są

.2 „2

dla fc = 0,1,2,3,...

fcV

^S'⁼—S

Wszystkie bieguny s_k są biegunami jednokrotnymi. Oryginał funkcji (8) wyznaczamy ze wzoru

(9)

« 0,0= Z ^rez l^u(^x >^s)«"].

k = 0 s=s;₄

liczymy zatem residua występujące we wzorze (9)

£/,(x) = rez [f/(x, s) e^rt] =U₀ — ,

s = o    «

knx

2 u₀ sinh i-

a

M*(x,0= iez [t/(x, s)c^s'] = —-r-TT—exp

*2_n2    ikn cosh ikn

⁸

/ k²n² \

{-rT

2U₀(— l/sin-

knx

kn

a f k²n² \

^exp(-^7

17*