27752 str251

8 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 251

natomiast z warunku (4) mamy zależność

^C_n — cc„D_n = 0_r

a stąd

D„ = -C..

Obecnie funkcję u(x, t) możemy zapisać w następującej postaci:

oo

(9)    u(x, t) - e~'“ 'y ^ E„sin ^^cosx„t + ^ sina_nt^j,

i    ⁿ⁼¹

gdzie E_n = B_nC_n. Funkcja (9) spełnia warunki (4) i (5).

Wartości współczynników E_n wyznaczamy z warunku początkowego (3)

oo

I

n= 1

nnx

E„ sin—— = /(x)    dla 0 <x<l,

l

gdzie f(x) określona jest relacją (1). Współczynniki E„ obliczamy zatem ze wzoru

ł< f . ■ HJtX ,

U o sin -j- dx

E„ =

j

sm^ —— <fx

skąd po obliczeniu całek mamy

2 U,

(^1_cost)

Ti n

Obecnie możemy napisać w końcowej postaci funkcję u(x, i) opisującą przebieg zmian napięcia linii dla v<x<l i <>0    ,

(mt\

1 — cos — 1

3 ) —nnx(    n .    \

u(x,i) =- ?    -sin — ( cosa„H- —sina„M,

71    Z—/    ^n    1 \    «_n    )

gdzie

RC + LG	a - /"^V	(^R	^GY
2LC ’	" VLC/^2	\2L	2 C)

Zadanie 8.5. Struna o długości / zamocowana jest na obu końcach. W chwili t = 0