220 (48)

METODY NUMERYCZNE..

LŁMAT 10.8

Jeśli c (x) > 0 dla x e fi, to forma 2

tr (ii, t>) = | | J? D, vf>i u + c (x) tu;) d£ż

ń I-I

jest //{-eliptyczna:

^a (m, w) ^ y ||u||i,    (10.90)

gdzie y jest stałą dodatnią zależną tylko od średnicy obszaru Q.    ■

Dowód

W przypadku gdy c. (x) > c₀ > 0 otrzymujemy nierówność u (w, min {!,<:©} Ha||?

oznaczającą //{-eliptyczne ść ze stałą >• = min {1, r_Q}. Dla c (,v) > 0 korzystamy z następującej nierówności Friedrichsa(por. z poz. [75]) (podajemy ją bez dowodu)

jtf>i u Jo >ai'u!'o, ueW{(fl), i =1,2    (10.91)

gdzie <5 jest stalą dodatnią zależną tylko od średnicy O. Stad 2 . 2

i! (U, li) fS (Z), u)² dD >    (0,u)² dfi-ł-Ó² | w² dfi

O r-i    ~ i‘i <-i    £ł

Przyjmując za y = min j-~- , ó²j dostajemy nierówność (10.90).    j

7 lematów 10.8 i 10.6 wynika już istnienie i jednoznaczność rozwiązania zadania przybliżonego, a tym samym układu (10.89). Jeśli dodatkowo założymy, że/e/-.²(ft), to zadanie jest stabilne. Istotnie, bowiem przy tym złożenia funkcjonał / (.”) jest ograniczony

1/ lo Mi

h

co na podstawie lematu 10.7 implikuje stabilność zadania.

Podamy oszacowanie błędu rozważanej metody. Rozwiązanie u, które należy do L^z a L² daje się przedstawić w postaci (por. z poz. [76]}

co

= £ *tj<Pu i.j-i

Na mocy twierdzenia 10.20 oszacowanie błędu metody sprowadza się do oszacowania w normie ]| -Ib funkcji z (.v) = u — v równej

<c    or>

²(^x>⁼ £ A «ij<Fu

l-S.+l j-.Sz+l