284 2

• 284

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Udowodnimy później (twierdzenie 7.4.2) następujące rozwinięcie dla T(fy_:

(7.4.5)    T(h)= jf(x)dx + a_lh² + a₂h⁴'+a₂h⁶ + ...

m

Pozwala to stosować ekstrapolację iterowaną Richard?ona (przypominamy twierdzenie 7.2.1 i przykład 7.2.5). Otrzymuje się wtedy metodę całkowania znaną jako metoda herga. Należy ona obecnie do najczęściej stosowanych, miedzy innymi dlatego, j® da' prostą strategię automatycznego wyboru właściwej długości kroku. Zaczyna się od kroku dość dużego i zmniejsza się go dwukrotnie tyle razy, aby ekstrapolacja dała wartości (z jednej kolumny) dostatecznie bliskie. Trzeba przy tym sprawdzać, czy zgodność wartości z tej samej kolumny nie jest przypadkowa, tzn. upewniać się, czy krok h jest na tyle maty żc uprawnia do użycia rozwinięcia (7.4.5).

PR2YKLAD 7.4.2. Zastosowanie metody Romberga do wartości T(h) z przykładu 7.4.1. (Do wyboru dokładności obliczeń odnoszą się komentarze zamieszczone po

W2orze (7.2.12).)
			h^A
/<oo- 0.7586*0
	3360
At 0=0.768760		At ,=0.772120
	834		-1
Ai0 = 0.771262		/fu" 0.772096
	208		0
^j0»0.771887		As t =0.772095

(0.772095)

(0.772095)

Jest A_2l-A_SI = I0"⁶- Uznajemy A_{3 2} za dobre przybliżenie całki i szacujemy,że |i?_r|^10“⁶. Zgodnie z twierdzeniem 7.4.1 mamy )/ł_xj<0.8    10"⁵ = 4 • 10~⁶. Wobec tego

i-

sinx

dx = 0.772095 -0.000005.

Poprawny wynik jest równy 0.772095.

Zobaczymy, że druga kolumna w schemacie Romberga (nie liczymy tu pomocniczych kolumn z poprawkami jA, ~J,...) zawiera liczby, które można by otrzymać z *z°r* Simpsona. Dla całki w _i>5 otrzymuje się z wzoru trapezów następujące przy* bliżenia:

z krokiem 2h:    h(J_2l„₂+f_2{),

z krokiem h:    ń(ł/₂<-i+/_M.-i + ł/₂j-

Wobec tego w drugiej kolumnie mamy liczby

h (ł/₂< - 2 +/₂1 -1 + i/zi + i ( “ i hi - 2 +fu-1 — i/si)) = $ Wf_2l„ ₂+4f_2i _ j +/₂i)»    _

i * — j

zgodnie z wzorem Simpsona z przykładu 7.2.2. Druga kolumna jest więc dokładną r-wszystkich wielomianów trzeciego stopnia.