310 2

310

?. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

7.7. Funkcje wielu zmieni,^

Metody całkowania numerycznego można uogólnić na całki wielokrotne, jednak koszt obliczania całki rośnie szybko wraz z jej krotnością. Są wiec celowe próby zmniejszeni* liczby wymiarów przez zastosowanie do części zadania technik analitycznych.

Przykład 7.7.1. Następującą całkę potrójną można zredukować do całki pojedyncze;-

X •» Cl

i J1*

ooo

-{*+ ^r*^ł^»iin(xz)sii₁ iyx) dx dydz =

•fi

®    *    oo    r / _x \

= fe ^Xdx j e ^rsia(vx)dy f e *sin(zx)dz« l|-e~^xdx

bo    o    J \ I 4-x“ /

gdyż

l+x³

je 'sm(zx)dz= Je^_r5in(yx)dv

Powstałą całkę pojedynczą można łatwo obliczyć sposobami opisanymi wcześniej (zob przykłady 7.4.8 i 3.2.6).

Taka redukcja wymaga często przekształcenia zmiennych (zob zadanie I na końcu tego paragrafu), ale czasem i ono nie pomaga. Dla prostoty ograniczymy się tera2 do przypadku dwuwymiarowego, choć przedstawione dalej sposoby są ogólniejsze. Możliwe są różne podejścia, a między innymi

(a)    zamiana całki wielokrotnej na i terowaną — zob. § 7.7.1,

(b)    użycie siatki prostokątnej, głównie wtedy, gdy obszar całkowania jest wielokątem — zob. § 7.7.2,

(c)    użycie nieregularnej siatki trójkątnej, możliwe dla ogólniejszych obszarów całkowania — zob. § 7.7.3,

(d)    metoda Monte - Carlo, szczególnie dła całek o dużej krotności i skomplikowanych obszarów całkowania - zob. rozdział II.

Podamy przykłady zastosowania sposobów (a), (b), (c) do całkowania, a także interpolacji i różniczkowania.

7.7.1. Całki iterowaac

Przykład 7.7.2. Obliczamy całkę

/= f{(sin^J>)(sinⁱx)(I+x²4-y^I)"^,'’dxdy.

gdzieZ)={(x,>):    u {{x, y): 1 s$x<3, |>'|<0.5} (rys. 7.7.1).

Niech będzie

(x>W3),

^(x<U3h

A*1

(7.7.1)

?(x) = j ($in^)(l +x⁷+y²)~^l'²dy.

-/UJ