Matematyka 2 1

100 <1. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

tę powierzchnię płaszczyznami n,: y = y₀ i ir: x = x₀, u linie przecięcia tych płaszczyzn z powierzchnią S oznaczmy odpowiednio. K. i K_ (rys 5.1). Linie K, i K_; są więc określone równaniami

100 <1. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

z=f(x.y),

y=yo.

z = f(x,y).

X = X,

W płaszczyźnie jt, poprowadźmy prostą styczną do krzywej K, w punkcie

Po = (x₀,yo.f(x₀.y₀)).

Wartość pochodnej f' w punkcie (x₀,y₀) jest równa tangensowi kąta a,. jaki tworzy styczna do krzywej K, w punkcie P₀ z dodatnim kierunkiem osi 0x, czyli

Analogicznie , wartość pochodnej f,' w punkcie (x₀.y₀) jest równa tangensowi kąta u₂,jaki tworzy styczna do krzywej K_: w punkcie P„ z dodatnim kierunkiem osi Oy, czyli

^f,'(^xu»yo)^=tg0i2-

Rys 5.1.

PRZYKŁADY OBLICZANIA POCHODNYCH CZĄSTKOWYCH. Z przyjętego określenia wynika, że znajdowanie pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych sprowadza się do różniczkowania odpowiednich funkcji jednej zmiennej.

PRZYKŁAD 5.1. Niech będzie dana funkcja dwóch zmiennych określona wzorem

(1)    f(x,y)= x^:sinxy, (x.y)eR^:

a)    Obliczymy pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie p₀ = (2.-1). Zgodnie z definicją pochodnych cząstkowych

f;(2_t-i)=«p[(2),    f;(2-i)=<j>;(-i),

gdzie cp,(x)= f(x.—I) = —x²sinx, <p_:(y)= f(2,y) = 4sin2y . Stąd

ipj(x) = -2xsinx-x^:cosx, tp2(y) = 8cos2y,

<pj(2) = -4(sin2 + cos2).    tp2(-ll= 8cos2,

f'(2,-1) = ~4( sin 2 + cos 2),    f' (2,-1) = 8cos2.

b)    Znajdziemy teraz pochodne cząstkowe funkcji f w dowolnym punkcie (x,y) eR^:,

Aby znalezć pochodną f'. zmienną y we wzorze (I) traktujemy jako stałą. Otrzymujemy

(2)    f; = 2xsinxy + x^:ycosxy .

Analogicznie, przyjmując w (1), że x jest stałą, otrzymujemy

(3)    r; = x^łcosxy.

Wartości pochodnych cząstkowych funkcji f w punkcie (2,-1) obliczone w a) można oczywiście otrzymać z (2) i (3) przyjmując

X= 2 i y = -l.    ■

PRZYKŁAD 5.2. Zbadamy istnienie pochodnych cząstkowych funkcji f w punkcie p₀ = (0,0), gdy:

dla (x,y (0,0), dla (x,y) = (0.0),

x³-y²

a) f(x,y) =

x‘ + y² 0