272 2

272

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Twierdzenie 7.3.6. Wzór interpolacyjny Newtona dla węzłów równoodległy*^

i=1    J1    (»+l)ł

Dowód. Dla x=x₀+ph mamy związek

(x-Y_o)(x-x_l)...(x-x_J_,)=p/i(p-l)A...07-; + ])fc=

Podany wyżej v.7:ór dla f(x₀ +ph) otrzymujemy, korzystając kolejno z twierdzeń 735 i 7.3.3.

Uwaga. Twierdzenie 7.1.2 jest szczególnym przypadkiem powyższego twierdzenia, gdy p jest liczbą całkowitą k. Wzór z twierdzenia 7.3.6 łatwo zapamiętać, interpretując go jako symboliczne rozwinięcie dwumianu Newtona (zob. § 7.6):

£'=( 1+<*)■’.

Wzór interpolacyjny Newtona korzysta z różnic rozmieszczonych w schemacie różnicowym wzdłuż przekątnej. Często, gdy interpoluje się w przedziale [x₀, xj, jest bardziej praktyczne użycie różnic rozmieszczonych na tym samym poziomie co/„ i f_L. Poniższy wzór jest jednym z wielu, które mają taką własność.

Wzór Besseła

(7.3.10)    /(x₀ + pA) «/₀ + pAJ_a+ff;(d ²f.,+A Yo)+b;-a ³f., + gdzie

b; = -|p(i-p),

^B;"=nP(p-')(2p-i).

^Bi⁴'=«(p+»p(p-i)(P-2),

Ą^5,-ns(p+ O p(p- i)(p-2)(2p- i) •

Używając różnic centralnych pisze się ten wzór prościej:

f(x₀ + ph)^f₀ + p5f_l!1+2B^!;pó%₂ + B^>;^/d%₂+2B^p6%_i+^ |

Jeśli ten szereg zakończy się na różnicy rzędu nieparzystego 2«—1, to jest prawdzi** zwykłe wyrażenie dla reszty interpolacji wielomianowej; w powyższych oznaczenie

(7.3.11)    Ru=Bⁱ;»-2k²y²*\i), gdzie **[*-„,*].

Wobec tego, na mocy twierdzenia 7.1.4,

pierwszy pominięty składnik rozwinięcia (7.3.10).

Jeśli szereg urywa się na różnicy rzędu parzystego, to resztę najłatwiej oszacować