300 2

300

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowania

ⁿapi$a£

Przykład 7.5.2. Przyjmując, że p^r+ik skąd y = .v₀ - (r-) £)/», możemv wzór interpolacyjny Ucssela 17.3.30) w postaci

A*)-/©+(/■•+    i + d²/o>+5»V-JM³/ , +

Po zróżniczkowaniu otrzymuje się wzór

*/(*> =    -^/*)+ś(3r²-i).fV , +

+ <4r* -5r) (j + '<7- . * +, !o O'*- r + *s> -4V- , +...

W szczególności dla r —0

(7.5.1)    hf (Xq $) = Ąfo~j4d~f-    — ■■- =

³⁵ <>/<>. 3 ^— J5^³/o.S ⁺^I^⁵/o.5 ~ • * •

Błąd obcięcia w tych rozwinięciach można szacować za pomocą pierwszego odrzuconego składnika. Ponieważ błędy zaokrąglenia tablicowanych wartości powodują duże błędy względne różnic, gdy /r jest małe. więc w różniczkowaniu numerycznym trzeba cżęsto wybierać h dość duże; zob. przykład 7.5.4

Przykład 7.5.3. Do różniczkowania numerycznego służy również %vzńr

(7.5.2)    h/'(.<)=/u5/₀ - i <! - 3p²) -f ^ (4 ~ ! 5p³ + 5_P⁴) pó% +...

...+(p&²j,o—,‘j (p-2p*)$*fo+ttólAp~iPp*    + • •).

gdzie -t * x_e - pń ■

(Wzór ten można otrzymać różniczkując wzór interpolacyjny Stirłmga, który wyprowadza się podobnie jak wzór Besseła z § 7.3.4. Bierze się średnią wzoru (7.3.13) i wzoru Newtona z węzłami x'₀. x\, .v j. ... równymi odpowiednio

x₀. x_,, x,, x ₂, x₂. x _s, ...,

gdzie x, —x₀-bi/i. Szczegóły dowodu pozostawiamy czytelnikowi.)

Z wzoru (7.5.2) i jego pochodnej otrzymujemy dla p = 0. że (7.5.3)    hfi - pSh-^%+^% - ±,<ó% + ...

<7.5.4)    a^!/ó'=»%-&%+«^7o - ą»a*/o+-

J w tych przypadkach błąd obcięcia można oszacować za pomocą pierwszego <^ł^^rz^ -v nego składnika.

Błędy wartości funkcji są w różniczkowaniu numerycznym o wiele wiżniejsze n'-połacji łub całkowaniu. Im wyższy jest rząd pochodnej, tym bardziej wpływa n3