DSC07151 (5)

230

Zastosowanie całek oznaczonych

Dis powierzchni rozważanej w zadaniu mamy

i r---—    i

|£| — 2x J1 +    dx = 2x J \/x + x² dx

o '    o

= 2jt * y/x + x² — g In (2y/x + x* + 2x +

» Przykład 9.7

Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wokół osi Ox krzywych T przedstawionych na rysunkach poniżej:

Rozwiązanie

a) Krzywa T rozważana w zadaniu jest określona wzorem:

V = /(*) = h + y/r² — x⁷, gdzie —r $ z $r.

Powierzchnia £ uzyskana w czasie obrotu krzywej F jest fragmentem powierzchni torusa. Jej pole wyraża sie wzorem:

a _

W = 2xJ J{x)yjl + [/'(x)]³ dx

a    _-

i rf (^a+^ i ^xv \jⁱ⁺ifiO ę

Ib5“5f⁺¹]‘^fa

= 2*r^/iarc*in ^ + zj    = 2irr (rrh + 2r).

przykłady

b) Powierzchni* £ powstała z obrotu odcinka r wokół osi Ox będzie fragmentem powierzchni hiperboloidy jednopowlo-kowej. Niżej wyznaczymy odległości punk-tów odcink* r od oei obrotu (rysunek/ Punkty tego odcink* maj* współrzędne

(x, q. -x) , gdzie O ^ _x ^ _p

Odległość /(*) takiego punktu od osi Ox wyraźa się wzorem

/(*) = \/ 7² + x^a.

Pole powierzchni, którą w czasie obrotu wokół osi Ox ___ . ,    .

same jak pole powierzchni, którą zatoczy w czasie obrotu wokó^?^ ***** ^Ukie funkcji /(*) = y/q² + x². gdzie 0 $ * $ _p.    * ^wotó* “niej osi, wykres

|E| = 2ir J f(.x)y/\+[f'{x)]³dx

a