DSC07154 (5)

236

Zastosowania całek oznaczonych

■ Zadanie 9.8

a)    Przy rozciąganiu sprężyny siła jest wprost proporcjonalna do wydłużenia sprężyny (współczynnik proporcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości I rozciągnąć do długości L\

b)    Zbiornik ma kształt walca o osi poziomej. Średnica walca D = 2 m, a długość £ = 6m. Obliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik. Otwór do opróżnienia zbiornika znajduje się w jego górnej części. Masa właściwa wody 7 = 1000 kg/m.

•    Zadanie 9.9

a)    Punkt materialny zaczął poruszać się prostoliniowo z szybkością początkową co = lOm/s i przyspieszeniem ao = 2m/s³. Po czasie łj = 10 s punkt ten zaczął poruszać się z opóźnieniem Qj = —1 m/s². Znaleźć położenie punktu po czasie f₃ = 20 s od chwili rozpoczęcia ruchu;

b)    Dwie cząstki elementarne /ł i B położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z szybkościami odpowiednio v_A(t) = lOł + t³, u_a(<) = 6t, gdzie t > 0. Po jakim czasie nastąpi zderzenie tych cząstek?

Odpowiedzi i wskazówki

Rozdział 0 [0.11 a) zbiór A jest ograniczony z dołu (m = 0), ale nie jest ograniczony z góry; b) zbiór B nie jest ograniczony ani z dołu ani z góry; c) zbiór C jest ograniczony z dołu i z góry (M = 2); d) zbiór D jest ograniczony z góry (jlf = 3), ale nie jest ograniczony z dołu.

10.21 a) inf A = ^, min A = sup A = -, w zbiorze A nie ma elementu największego;

b) inf B = — ^3, sup B = \/2, w zbiorze B nie ma elementu najmniejszego ani największego; c) infC = —n/3, sup C = >/3, w zbiorze C nie ma elementu najmniejszego ani największego; d) inf D = —4, min D = -4, sup D = 4, max D = 4.

[ÓTJa) 0/ = ... U (-2jt, -ir| U (0. jr| U (2jt,3jt| U..Wj = [0,1|;

b) D, = R\{ir + 2kn : k 6 Z}, W» = [j’⁰⁰)’ ^c) ©h = (-oo,l)u(l,oo), W* =

e)    D, = (-oo,-l) U (l,oo), W, = (0,oo);

f)    D_r = (-oo,2) U (2, co), W_r = (-oo,0) U (l,oo).

20+m 100y

.4 j =

, gdzie 0 ^ m $ 180 oraz 7 = 1    .

j|m|

[p ■) ,^funkcjⁿ 1 j^¹ °e^raniczolⁿ';⁵⁵ .^{dolu (},7,^{= l})- Me nie jest ograniczona z góry;

b)    funkcja g jest ograniczona z dołu (m = y 1 z góry [aj _ «.

c)    funkcja /i nie jest ograniczona z ani dołu ani z góry.

d)    funkcja p jest ograniczona z góry (fr/ = -j) , nie ni, jest ograniczona z dołu; o) funkcja q jest ograniczona z dołu (m = 0) i z góry _ j\.

f) funkcja r jest ograniczona z dołu (m = 0) ale nie jest ograniczona z góry.

237