28189

Zaczniemy od przypomnienia definicji pojęć związanych z badaniem przebiegu funkcji takich jak: minimum lokalne, maksimum lokalne czy druga pochodna.

Pochodne wyższych rzędów

Załóżmy, że funkcja / ma pochodną na przedziale Z. Pochodną funkcji f na I (jeżeli ona istnieje) będziemy oznaczać przez /⁽²\ (lub /^(,/)) pochodną funkcji /⁽²⁾ na Z (jeżeli ona istnieje) przez /⁽³⁾ (lub ) itd.

Pochodne wyższych rzędów— przykłady

Dla /(x) = x³ (w tym przypadku obliczamy pochodne na przedziale I = R) mamy: /'(x) = 3x²,

/"(*)“ &t,

/"'(*) = 6,

/^<n)(x) = 0 dla n > 3.

Pochodne wyższych rzędów— przykłady

Dla /(x) = >/x = x¹^² (w tym przypadku obliczamy pochodne na przedziale Z = (0, oc) mamy:

rw-i •(-!«--«*

itd.

Monotoniczność funkcji na przedziale

Załóżmy. że funkcja / jest różniczkowalna na przedziale Z (tzn. istnieje pochodna funkcji / na przedziale Z). Funkcja / jest:

•    rosnąca, jeśli /'(x) > 0 dla x € Z;

•    niema lejąca, jeśli /'(x) > 0 dla x 6 I;

•    malejąca, jeśli /'(x) < Odia x € I;

•    nierosnąca. jeśli /'(x) < 0dlax€ J.

Monotoniczność funkcji logistycznej

Pochodna funkcji logistycznej

/«) =

a

1 + be~^cl'

ma postać

_en±x abce~^ct ni)~ (1+6*--")²'

Stąd wynika, że / jest monofoniczna na IR.

Monotoniczność / można też uzasadnić, opierając się na własnościach funkcji wykładniczej— wynika z nich. że mianownik / jest funkcją malejącą zmiennej x.

2