Metrologia - laboratorium
Imię i nazwisko: Andrzej Gessner Paweł Hendrys Łukasz Sobkowiak		Semestr: IV	Wydział: BM i Z	Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn	Grupa: M1
Temat ćwiczenia: Analiza statystyczna wyników pomiarów.
Data wykonania ćwiczenia: 29.03.1999r.	Ocena:

Przebieg ćwiczenia:

Przeprowadziliśmy pomiar średnic wałeczków metodą porównawczą, jako wzorzec stosując płytki pomiarowe, średnica nominalna wałeczków - 12mm

Dane pomiarowe [μm]:

-59 -49 -47 -25 5 14 21 22 25 31 39 40 43 47 48 48 48 50 50 51 51 54 57 59 61 62 62 66 67 68 69 70 70 70 72 72 72 73 73 74 74 75 76 76 77 77 77 77 78 78 79 79 80 80 81 81 81 82 82 82 82 84 84 85 85 85 85 85 86 86 86 86 87 87 87 87 88 90 90 90 91 92 93 95 97

1. Rozstęp i przedziały klasowe:

Rozstęp: R = x_max - x_min = 97 - (- 59) = 156

Zakładając długość przedziału: Δx=8 [μm]

liczba przedziałów c=20

2. Obliczenia wartości średniej, wariancji i odchylenia średniego:

Nr przedziału	Przedział klasowy		Liczność n	Środek przedziału	Częstość względna	Częstość skumulowana	_ x*ni	_ _ xi-x	_ _ (xi-x)^2	_ _ (xi-x)^2*ni
1	-60	-52	1	-56	0,0118	1	-56	-120,565	14535,849	14535,849
2	-52	-44	2	-48	0,0235	3	-96	-112,565	12670,814	25341,628
3	-44	-36	0	-40	0,0000	3	0	-104,565	10933,779	0,000
4	-36	-28	0	-32	0,0000	3	0	-96,565	9324,743	0,000
5	-28	-20	1	-24	0,0118	4	-24	-88,565	7843,708	7843,708
6	-20	-12	0	-16	0,0000	4	0	-80,565	6490,672	0,000
7	-12	-4	0	-8	0,0000	4	0	-72,565	5265,637	0,000
8	-4	4	0	0	0,0000	4	0	-64,565	4168,602	0,000
9	4	12	1	8	0,0118	5	8	-56,565	3199,566	3199,566
10	12	20	1	16	0,0118	6	16	-48,565	2358,531	2358,531
11	20	28	3	24	0,0353	9	72	-40,565	1645,496	4936,487
12	28	36	1	32	0,0118	10	32	-32,565	1060,460	1060,460
13	36	44	3	40	0,0353	13	120	-24,565	603,425	1810,275
14	44	52	8	48	0,0941	21	384	-16,565	274,390	2195,117
15	52	60	3	56	0,0353	24	168	-8,565	73,354	220,063
16	60	68	6	64	0,0706	30	384	-0,565	0,319	1,913
17	68	76	14	72	0,1647	44	1008	7,435	55,284	773,970
18	76	84	19	80	0,2235	63	1520	15,435	238,248	4526,715
19	84	92	19	88	0,2235	82	1672	23,435	549,213	10435,044
20	92	100	3	96	0,0353	85	288	31,435	988,177	2964,532
Suma:			85				5496			82203,86

W oparciu o sporządzoną tabelę obliczono:

• 
  wartość średnia:

• wariancja:

• 
  odchylenie średnie:

s=31,098 [μm]

3. Zatem wartości graniczne dla próbki wyniosą:

Jak widać, w tak obliczonych granicach nie mieszczą się wartości ujemne wyników z próby. Należy zatem, po odrzuceniu tych wymiarów obliczenia powtórzyć.

Wobec tego rozstęp i przedziały klasowe wyniosą:

R = 97 - (-25) = 122

Przy tej samej długości przedziału Δx=8 [μm] , liczba przedziałów wyniesie c = 15,25. Przyjmuję c = 16.

Obliczenie wartości średniej, wariancji i odchylenia średniego.

Nr przedziału	Przedział klasowy		Liczność n	Środek przedziału	Częstość względna	Częstość skumulowana	_ x*ni	_ _ xi-x	_ _ (xi-x)^2	_ _ (xi-x)^2*ni
1	-28	-20	1	-24	0,0122	1	-24	-92,878	8626,332	8626,332
2	-20	-12	0	-16	0,0000	1	0	-84,878	7204,283	0,000
3	-12	-4	0	-8	0,0000	1	0	-76,878	5910,235	0,000
4	-4	4	0	0	0,0000	1	0	-68,878	4744,186	0,000
5	4	12	1	8	0,0122	2	8	-60,878	3706,137	3706,137
6	12	20	1	16	0,0122	3	16	-52,878	2796,088	2796,088
7	20	28	3	24	0,0366	6	72	-44,878	2014,039	6042,118
8	28	36	1	32	0,0122	7	32	-36,878	1359,991	1359,991
9	36	44	3	40	0,0366	10	120	-28,878	833,942	2501,825
10	44	52	8	48	0,0976	18	384	-20,878	435,893	3487,144
11	52	60	3	56	0,0366	21	168	-12,878	165,844	497,533
12	60	68	6	64	0,0732	27	384	-4,878	23,795	142,772
13	68	76	14	72	0,1707	41	1008	3,122	9,747	136,452
14	76	84	19	80	0,2317	60	1520	11,122	123,698	2350,258
15	84	92	19	88	0,2317	79	1672	19,122	365,649	6947,330
16	92	100	3	96	0,0366	82	288	27,122	735,600	2206,801
Suma			82				5648			40800,780

Zatem:

x = 68,87805 [μm]

s² = 497,570

s=22,306[μm]

x_max = 135,797 [μm]

x_min = - 1,960 [μm]

Jak widać, w tak obliczonych granicach nie mieszczą się minimalne wyniki z próbki. Należy zatem po odrzuceniu tych wymiarów obliczenia powtórzyć. Wobec tego rozstęp i przedziały klasowe wyniosą:

R = 97 - 5 = 92 [μm]

Przy tej samej długości przedziału Δx = 8 [μm] liczba przedziałów wyniesie c = 11,5 przyjmuję c = 12

Obliczenie wartości średniej, wariancji i odchylenia średniego.

Nr przedziału	Przedział klasowy		Liczność n	Środek przedziału	Częstość względna	Częstość skumulowana	_ x*ni	_ _ xi-x	_ _ (xi-x)^2	_ _ (xi-x)^2*ni
1	4	12	1	8	0,0123	1	8	-62,025	3847,062	4901,735
2	12	20	1	16	0,0123	2	16	-54,025	2918,667	4901,735
3	20	28	3	24	0,0370	5	72	-46,025	2118,272	14694,830
4	28	36	1	32	0,0123	6	32	-38,025	1445,877	4901,735
5	36	44	3	40	0,0370	9	120	-30,025	901,482	14694,830
6	44	52	8	48	0,0988	17	384	-22,025	485,087	39117,041
7	52	60	3	56	0,0370	20	168	-14,025	196,692	14694,830
8	60	68	6	64	0,0741	26	384	-6,025	36,297	29358,510
9	68	76	14	72	0,1728	40	1008	1,975	3,902	68310,012
10	76	84	19	80	0,2346	59	1520	9,975	99,507	92542,477
11	84	92	19	88	0,2346	78	1672	17,975	323,112	92542,477
12	92	100	3	96	0,0370	81	288	25,975	674,717	14694,830
Suma			81				5672			395355,041

Zatem:

x=70,02469

s² = 4880,926

s = 69,8636

x_max = 279,6155

x_min = - 139,5653

Granice te obejmują wszystkie wyniki pomiarów.

W oparciu o tabelę wykonano histogram i wykres dystrybuanty.

Obliczając granice rozrzutu dla poziomu ufności α=0,95 można napisać:

Z tabeli funkcji Laplaceá

t = 1,96

skąd: t*s = 0,13

co można zapisać ostatecznie:

12,07±0,13 dla poziomu ufności α=0,95

Niezbędną liczbę pomiarów dla otrzymania oceny z założoną dokładnością można wyznaczyć z zależności:

Dla przyjętego poziomu ufności α = 0,95, wzięto wartość s = 69 [μm] z wyliczonego uprzednio przykładu. Założono tolerancję wartości średniej Δx = 30 [μm]

Wymagana liczba pomiarów w tym przypadku wyniesie:

n=20

Dla uproszczenia postępowania wzięto z wyników mierzonej uprzednio próbki 20 kolejnych wymiarów o wartościach po uporządkowaniu:

5, 14, 21, 22, 25, 31, 39, 40, 43, 47, 48, 48, 48, 50, 50, 51, 51, 54, 57, 59

Obliczenie wartości średniej i odchylenia średniego (w oparciu o rozkład Studenta).

Nr	xi	(xi - x)	(xi - x)^2
1	5	-35,150	1235,523
2	14	-26,150	683,823
3	21	-19,150	366,723
4	22	-18,150	329,423
5	25	-15,150	229,523
6	31	-9,150	83,723
7	39	-1,150	1,323
8	40	-0,150	0,022
9	43	2,850	8,123
10	47	6,850	46,923
11	48	7,850	61,623
12	48	7,850	61,623
13	48	7,850	61,623
14	50	9,850	97,023
15	50	9,850	97,023
16	51	10,850	117,723
17	51	10,850	117,723
18	54	13,850	191,823
19	57	16,850	283,923
20	59	18,850	355,323
	40,15	0,000	4430,550

Po sprawdzeniu wg statystyki Grubbsa stwierdzono:

B_kr = 2,623

Dla poziomu ufności α = 0,95 i k = n - 1 = 19 z tablic rozkładu Studenta odczytano t = 1,729

stąd: t*s = 26 [μm]

Ostatecznie:

12,002±0,026 [μm]

---