88463

Zestaw nr 3. Pochodna funkcji. twierdzenia o funkcjach rńżniczkowalnyrh.

Pochodna funkcji f (x) w punkcie Xo to f'(x₀) = lim ^ °--—^    (o ile ta granica istnieje).

Ax-»o    Ax

•    Poch. sumy, iloczynu, ilorazu. Jeżeli istnieją f'(x) i <?'(x),to (f(*)±3(*)) — f\x)±g\x)

ls(*)J    [9(*)J

•    Jeżeli y = f(x) ma pochodną f*(x) oraz funkcja z = g(y) ma pochodną g’(y), to funkcja złożona

z = g[ f(x)J ma pochodną z’= g*[ f(x)]xf’(x) • Pochodne niektórych fiuikcji elementarnych

f(x)	V	x"	e*	d	sinx	cos X	tg x	ctgx	hi |x|	log*x | arcsin x	arc tg x
f\x)	fcr ^1	nxT‘	e^x	tfln a	cosx	sinx	1	1	1	1 ^1	1
	L_						cos^2 X	sin^2 x	X	x ln o\ Vi_x^2	l + x^2

• Twierdzenie Rolle’a.

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale <a,b> i istnieje f(x) na przedziale (a,b) oraz f[a) = f(b), to isDiieje taki punkt c e (a,b), że ^(c) = 0.

•    Tw ierdzenie Lagrange’a.

Jeżeli funkcja f(t) jest ciągła na przedziale domkniętym o końcach Xo i x oraz ma pierwszą pochodną wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący między Xo i x, że f(x)- f[xo) = T(^c)(^x " Xo).

•    Twierdzenie i wzór Taylora.

Jeżeli funkcja f(t) ma ciągłe pochodne do rzędu (n-1) włącznie na przedziale domkniętym o końcach Xo i x oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c, leżący między

*>i x,ie

k=0 ^{Km    n}-

zmian tu n Policzyć z cletmicji pochodną tunkcji t(x) = cos Zx. 1) Znaleźć pochodne tunkcji:

a)f(x) = sin (x⁷ sin x)    b)f(x) = arc tg (ln x + x) c) f(x) =    . d)f(x) = 2“^,x log.x

x

e) f(x) = Jx(ln² x + lnx²)³; f)f(x) = cos³ Je²* -4-lir tgx ; g)f(x) = log_x(sinx); (wsk.:logba=ln a/ln b);

h)f(x) = x^unx(wsk: a^b=e^bhł); i)f(x) = sin (ln >/xcosx ); j)f(x) = x\

k) f (x) =arctg    |) f _(x) =in(x Wx² +K); m) f(x) = |V*²+K + y ln(x + Vx²+K).

)x — x -ne**

X‘ X ^ X

3)    Dla jakich m i n funkcja f(x) jest róża a) f{x) =    °; b) f(x) =

mx + n x > x_Q

4)    Zbadać różniczkowalność (zwłaszcza w piuikcie x=0) fiuikcji:

a) f(x)--

xsin-

X

0

x * 0 x = 0

: b) f (x) =

x sin 0

4 x*0

(czy tutaj f (0)”]bnf (^x)?)

5) Dobrać parametr a, tak aby krzywa y = a (1 + x²) ln (x - 2) przecinała oś Ox pod kątem a. 6) Wiadomo, że f jest ciągła w <a,b> i różniczkowałna w (a,b) oraz że f* jest ciągła i różniczkował na w (a, b),. i istnieje p. Xo e (a,b), taki że f(a) = f(xo) = f(b). Wykazać, że istnieje punkt c e (a,b), taki że f"(c) = 0.

7) Dla jakich wart. param, a parabola y=ax² jest styczna do krzywej y=ln x.? 8) Pokazać, że prawdziwe są nier.

a) e* > 1 + x dla x * 0; b) ^ ln(l + x) < x dla x > —1. 9) Wykazać, że funkcja

2x    , ,

f(x) = 2 arctgx+arcsin-7 jest stała na <l,+oo). 10) Napisać równanie stycznej do wykresu fiuikcji

l + x²

f(x) = Jx² +6* w punkcie Xo=2.