9773562920

Ponieważ G jest bazą przestrzeni liniowej KG, współczynniki przy odpowiednich elementach grupy G muszą być równe, więc a_g = c<hgh-¹ • Zatem funkcja a:G —> K jest stała na klasach sprzężoności grupy G. Ponieważ nośnik funkcji a jest skończony, współczynniki przy elementach nieskończonych klas sprzężoności muszą być równe 0. Wobec tego a jest kombinacją liniową elementów C. Ponieważ elementy te mają rozłączne nośniki, są liniowo niezależne. Wobec tego stanowią one bazę centrum algebry KG. □

(2.10) Twierdzenie. Niech G będzie grupą skończoną i niech K będzie ciałem algebraicznie domkniętym oraz char (/O f |G|. Liczba k składników w rozkładzie Wedderburna algebry grupowej KG skończonej grupy G jest równa liczbie klas sprzężoności jej elementów.

DOWÓD. Z kursu algebry liniowej wiemy, że centrum algebry macierzy M_n(K) składa się z macierzy skalarnych A • /, A € K, czyli jest 1-wymiarową podalgebrą M_n(K). Wobec tego k jest wymiarem centrum sumy prostej algebr macierzy, więc jest także wymiarem centrum algebry KG. □

Niech teraz K = C. Wiemy, że jeśli G jest grupą skończoną, to CG = M„,(C) © ■ • • © M_nic(C). Rzuty na poszczególne składniki pfCG —> M_ni (C) tworzą pełną listę parami nieizomorficznych reprezentacji nierozkładalnych grupy G na przestrzeniach Vj = Cⁿ‘.

(2.12) Twierdzenie. Liczby n, są dzielnikami rzędu grupy G.

Dowód. (Don Passman) Niech e¹ € CG będzie elementem, który w powyższym rozkładzie odpowiada macierzy identyczności na i-tej współrzędnej oraz macierzom zerowym na pozostałych. Wówczas mamy

_e. _ 10, gdy i ± j,

gdy i = j.

(2.13) Lemat, ej = ^ -g&G

Jak każdy inny element CG, element ej jest postaci ^ag9- Wyznaczmy współczynniki a_g € C. ■t' Trp,(ff~¹)

\G\

Dowód. Mamy izomorfizm CG-modułów

CG

V?¹ © • • • © V_fcⁿ‘-

Dla a € CG niech L_a będzie przekształceniem liniowym CG —> CG, polegającym na mnożeniu z lewej strony przez a. Wówczas

Tri„ = £>/&«(<«).    («)

Dla a = h ¹ • ej mamy

0,

Trpiih-¹),

gdy j ź i,

gdy j = i,

gdyż mnożenie przez ej działa jak identyczność na V) i jak przekształcenie zerowe na pozostałych Vj. Ponadto, jeśli ej =    ^ag9> t° macierz    w bazie G przestrzeni CG ma postać diag(aą,..., a/,). Z równości (¹)

otrzymujemy

IGI-a/.-ni-TrMO,

co trzeba było wykazać. □

Dokończenie dowodu twierdzenia. Wiadomo, że ślad macierzy jest sumą jej wartości własnych, te zaś dla macierzy pi{h~^l) są pierwiastkami z jedynki, gdyż = 1. Wobec tego liczba Trpj(/i^_1) należy do podpierścienia liczb całkowitych algebraicznych Z[e] C C, gdzie = 1. Stąd

3

1

0i dla pewnego    € Z[e]G.