3331456997

36

ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY OPCJI EGZOTYCZNYCH

Ćwiczenie 2.1 W przeciwieństwie do opcji binarnych, rozważmy „zwykłe" opcje potęgowe (power options). Zależnie od źródeł, określane są w ten sposób opcje o wypłatach

max(S'^n — K, 0)	(opcja cali)
max(K — S^n, 0)	(opcja put)
max(5 — K, 0)^n	(opcja cali)
max(K — S,0)^n	(opcja put)

oraz opcje

Dla rozróżnienia, te drugie można nazwać opcjami „spotęgowanymi” (powe-red options). Wykorzystaj rezultaty tego rozdziału by wyprowadzić wzory na cenę tych opcji w modelu Blacka-Scholesa-Mertona.

2.2 Opcje złozone

Opcja dla której instrumentem bazowym jest inna opcja to tzw. opcja złożona. Mamy tu cztery możliwości: opcje cali na opcje cali, cali na put, put na cali i put na put. Właściciel opcji ma prawo kupić (odpowiednio — sprzedać) w przyszłej chwili r, za określoną dzisiaj cenę k (cena realizacji opcji złożonej) opcję będącą instrumentem bazowym. Cenę realizacji tej ostatniej

oznaczymy przez K, a termin realizacji

Oczywiście wartość instrumentu bazowego naszej opcji nie ma rozkładu log-normalnego i zastosowanie wzorów Blacka-Scholesa-Mertona dla zwykłych opcji byłoby naiwne. Możemy jednak potraktować opcje złożone jako opcje egzotyczne na „instrument bazowy instrumentu bazowego”, czyli na S(t), i wyprowadzić wzór na cenę wykorzystując wzór (1.6).

Przypuśćmy, że mamy opcję cali na cali na akcje bez dywidendy. Cenę w chwili t opcji cali na akcje oznaczamy przez C_c(t). Jeśli w chwili r wartość opcji „bazowej” C_c(t) przekroczy

przez T > t.

pierwszy rzut oka mogło by się wydawać, że opcje na opcje to zbędna abstrakcja. Tymczasem pomysł opcji złożonych wcale nie jest nowy i pojawia się już w słynnej pracy Blacka i Scholesa [3]. W końcu to, co uważamy za zwykłe opcje na akcje można traktować jako opcje złożone: akcje firmy z ograniczoną odpowiedzialnością są opcjami cali na aktywa tejże firmy, zob. [RK]. W takim razie opcje na akcje to opcje złożone których instrumentem bazowym są aktywa firmy. Inne zastosowanie opcji złożonych, to wykorzystanie ich jako narzędzia wyceny pewnych „bardziej egzotycznych" opcji na akcje, zob. 2.3.