ELEMENTY ŚCISKANIE MIMOŚRODOWO

Typowe elementy ściskane to słupy, a także ściany i tarcze.

W praktyce, podłużna siła ściskająca działa na element na pewnym mimośrodzie. Oddziaływanie osiowe przyjmowane jest jedynie w założeniach teoretycznych.

Problematyka ściskania jest więc bardzo zróżnicowana.

Obejmuje ona przypadki tzw. „osiowego ściskania” gdzie mimośród statyczny e = 0 oraz przypadki gdzie e → ∞.

Rozkłady naprężeń w elemencie ściskanym (słupie), które zależą od wielkości mimośrodu pokazano na rysunku.

Projektowanie zbrojenia elementów obciążonych momentem zginającym i siłą podłużną przeprowadza się przyjmując podane wcześniej założenia ogólne (jak dla zginania).

Dodatkowo należy uwzględnić wpływ wyboczenia poprzez uwzględnienie efektów II rzędu.

W praktyce oznacza to powiększenie momentów zginających I rzędu o wartości momentów II rzędu.

Momenty II rzędu wynikają z przyrostu mimośrodu w elementach, których smukłość λ przekracza wartość graniczną.

Definicje

Efekty pierwszego rzędu: efekty oddziaływań obliczone bez uwzględnienia wpływów odkształceń konstrukcji, ale z uwzględnieniem imperfekcji geometrycznych.

Efekty drugiego rzędu: dodatkowe efekty oddziaływań

(na ogół momenty zginające lub mimośrody) spowodowane odkształceniami konstrukcji.

Długość efektywna elementu wydzielonego

Efektywną (czyli obliczeniową) długość słupów l₀ wyznaczać można według zasad mechaniki budowli jak dla elementów z materiału liniowo sprężystego ze znanego wzoru:

l₀ = ψ⋅l

ψ - współcz. wyboczeniowy uwzględniający wpływ sposobu podparcia słupa na końcach.

Zasady przyjmowania długości efektywnej w elementach żelbetowych pokazano w normie na rys. 5.7.

Kryterium smukłości

Smukłość określa się wzorem:

l₀ - długość efektywna

i - promień bezwładności niezarysowanego przekroju

żelbetowego

Jeżeli smukłość λ nie przekracza wartości granicznej λ_lim to efekty II rzędu można pominąć.

Smukłość graniczną oblicza się ze wzoru:

(składniki wzoru będą objaśnione w przykładzie liczbowym)

Jeżeli λ > λlim wtedy w obliczeniach należy uwzględnić efekty drugiego rzędu.

Uwzględnienie imperfekcji geometrycznych

Projektując element ściskany należy uwzględnić, że zawsze może wystąpić mimośród wynikający z imperfekcji geometrycznych, czyli

M_0Ed = M₀^s_Ed + N_Ed ⋅ e

M₀^s_Ed - moment zginający I rzędu wynikający ze statyki

(bez uwzgl. imperfekcji)

e - mimośród wynikający z imperfekcji geometr.

określany na podstawie poniższych zaleceń

normowych:

• [6.1(4) EN2] w obliczeniach przekrojów ze zbrojeniem symetrycznym, należy przyjmować, że minimalny mimośród wynosi:

e₀ = h/30, ale nie mniej niż 20 mm.

• [5.2.(9) EN2] w uproszczeniu, do uwzględnienia imperfekcji, powstających przy normalnych odchyłkach wykonania, do ścian i oddzielnych słupów w systemach usztywnionych można stosować mimośród

e_i = l₀ / 400

Ostatecznie e = max{h/30, 20 mm, l₀ / 400}

Uwzględnienie efektów drugiego rzędu

może być przeprowadzane metodami uproszczonymi.

Omówiona zostanie metoda nominalnej sztywności, w której całkowity moment obliczeniowy wynosi:

N_B - siła krytyczna obliczana klasycznym wzorem Eulera

EI - sztywność nominalna obliczana wzorem

(składniki wzoru będą objaśnione w przykładzie liczbowym)

M_0Ed - moment pierwszego rzędu

N_Ed - obliczeniowa siła podłużna

β - współczynnik zależny od rozkładu momentów I i II rzędu

Minimalne pole zbrojenia podłużnego w słupach

Minimalne pole przekroju całego zbrojenia podłużnego nie

powinno być mniejsze niż:

Maksymalne pole zbrojenia podłużnego w słupach

Cały przekrój zbrojenia podłużnego w słupach nie powinien być większy niż A_s,max

ODKSZTAŁCENIA I NAPRĘŻENIA PRZY ŚCISKANU

Mechanizm zniszczenia elementu ściskanego w stanie granicznym nośności zależy głównie od wielkości mimośrodu.

Na podstawie odkształceń granicznych betonu i zbrojenia w obliczeniach konstrukcji ściskanych wyróżnia się dwa przypadki:

• przypadek dużego mimośrodu

x_eff / d ≤ ξ_eff,lim

• przypadek małego mimośrodu

x_eff / d > ξ_eff,lim

Dla przypadku dużego mimośrodu mechanizm zniszczenia jest podobny jak w belce zginanej.

Strefa rozciągana jest zwykle dość duża i tam rozpoczyna się proces niszczenia.

Dla małego mimośrodu zniszczenie jest podobne jak w elementach osiowo ściskanych.

Strefa ściskana jest zwykle dość duża - w skrajnym przypadku cały przekrój może być ściskany.

Wykres naprężeń i układ sił wewnętrznych

w przypadku dużego mimośrodu

ξ_eff ≤ ξ_eff,lim

Wykres naprężeń i układ sił wewnętrznych

w przypadku małego mimośrodu

ξ_eff ≤ ξ_eff,lim

UWAGA !

W przypadku małego mimośrodu na rysunku układu sił w przekroju, przy zbrojeniu rozciąganym A_s1 pojawia się współczynnik κ_s.

Zbrojenie to może być rozciągane lub niekiedy ściskane.

Współczynnik κ_s obliczany ze wzoru podanego w normie przyjmuje wartości od - 1,0 do + 1,0.

Przy dużym mimośrodzie κ_s = 1,0 ( dlatego nie ma go na rysunku układu sił).

Przy małym mimośrodzie , jeżeli zbrojenie A_s1 jest ściskane wtedy κ_s = - 1,0 i wypadkowa w tym zbrojeniu zmienia znak.

Współczynnik κ_s oblicza się ze wzoru:

PRZYPADEK DUŻEGO MIMOŚRODU

ZBROJENIE NIESYMETRYCZNE

Wymiarowanie żelbetowego elementu prostokątnego polega na określeniu pola przekroju zbrojenia rozciąganego A_s1 oraz ściskanego A_s2 .

Obliczenia rozpoczynamy zawsze od przyjęcia założenia, że mamy do czynienia z przypadkiem dużego mimośrodu.

Korzystamy z ogólnych warunków równowagi momentów oraz sił - analogicznie jak w przypadku elementów zginanych.

Równanie równowagi sumy momentów zewnętrznych i wewnętrznych względem osi zbrojenia A_s1

N_Ed e_s1 = f_cd b x_eff (d - 0,5 x_eff ) + f_yd A_s2 (d - a₂)

Równanie równowagi sumy rzutów zewnętrznej siły podłużnej oraz wypadkowych sił wewnętrznych na oś podłużną elementu

N_Ed = f_cd b x_eff + f_yd A_s2 - f_yd A_s1

Mamy trzy niewiadome A_s1, A_s2 oraz x_eff - do dyspozycji natomiast dwa równania równowagi.

Aby wyeliminować jedną niewiadomą zakładamy pełne wykorzystanie strefy ściskanej przyjmując:

x_eff = x_{eff, lim} = ξ_{eff, lim} d

Podstawiamy tak zdefiniowane x_eff do powyższych równań i po przekształceniach otrzymujemy praktyczne wzory do obliczania przekrojów zbrojenia A_s1 oraz A_s2.

Jeżeli założenie, że przekrój jest ściskany z dużym mimośrodem okaże się prawdziwe to na tym kończy się wymiarowanie.

Często jednak trudno jest jednoznacznie określić przypadek mimośrodu.

Podczas obliczeń mogą wystąpić pewne przypadki szczególne.

Przypadki szczególne

• Jeżeli obliczone zbrojenie ściskane A_s2 będzie

A_s2 < 0 lub A_s2 < 0,5A_s,min

to znaczy, że przyjęto zbyt duży przekrój betonowy

słupa .

Zbrojenie ściskane jest niepotrzebne bo obciążenia

przenosi sam beton.

Gdy ze względów konstrukcyjnych nie można

zmniejszyć wymiarów słupa należy przyjąć:

A_s2 = 0,5A_s,min

Następnie zbrojenie rozciągane A_s1 obliczyć przy

założeniu A_s2 = 0 ze wzorów podanych w algorytmie.

• Jeżeli zbrojenie ściskane A_s2 > 0,5A_s,min , natomiast

obliczone zbrojenie rozciągane A_s1 < 0 to znaczy, że

zbrojenie to nie jest potrzebne.

Mamy więc przypadek małego mimośrodu

PRZYPADEK MAŁEGO MIMOŚRODU

Jeżeli obliczone pole przekroju zbrojenia rozciąganego

A_s1 < 0

to mamy przypadek małego mimośrodu.

Zbrojenie A_s1 nie jest w pełni wykorzystane.

Pole przekroju zbrojenia rozciąganego należy przyjąć:

A_s1 = 0,5A_s,min

Dla wyznaczenia zbrojenia ściskanego A_s2 konieczna jest korekta założonego zasięgu strefy ściskanej i obliczenie rzeczywistego położenia osi obojętnej.

Z warunku równowagi momentów względem osi zbrojenia ściskanego, przyjmując A_s1 = 0, wyznacza się skorygowane położenie osi obojętnej x_eff ze wzoru

Jeżeli obliczone x_eff ≤ d to pole przekroju zbrojenia A_s2 oblicza się ze wzoru, do którego podstawiamy obliczone wyżej x_eff.

Przypadki szczególne

• Jeżeli obliczone x_eff ≥ d ,to oznacza, że cały przekrój jest ściskany.

W tym przypadku zarówno zbrojenie A_s2 jak oraz

zbrojenie A_s1 są ściskane.

Do dalszych obliczeń przyjmuje się:

x_eff = d oraz κ_s = - 1,0

Pola przekroju zbrojenia A_s2 i A_s1 oblicza się ze

skorygowanych wzorów podanych w algorytmie

• Jeżeli przy założeniu x_eff = d obliczone pola przekrojów zbrojenia A_s2 i A_s1 będą miały wartości ujemne lub mniejsze od minimalnych, to należy przyjąć minimalne zbrojenie konstrukcyjne A_s1 = A_s2 = 0,5A_s,min.

Oznacza to, że przyjęto zbyt duże wymiary przekroju

betonowego.

ZBROJENIE SYMETRYCZNE

A_s1 = A_s2

W przypadku gdy na słup działają momenty o różnych znakach ale zbliżone co do bezwzględnej wartości projektujemy zbrojenie symetryczne.

Takie zbrojenie jest chętnie stosowane w wykonawstwie ze względu prostotę montażu.

Obliczanie zbrojenia

przy założeniu A_s1 = A_s2 , z warunku równowagi sił

N_Ed = f_cd b x_eff + f_yd A_s2 - f_yd A_s1

obliczamy wielkość strefy ściskanej

Jeżeli x_eff ≤ x_eff,lim = ξ_eff,lim ⋅ d - to mamy przypadek dużego mimośrodu.

Zbrojenie obliczamy ze wzoru:

Jeżeli x_eff > x_eff,lim = ξ_eff,lim ⋅ d - to mamy przypadek małego mimośrodu.

Zbrojenie obliczamy ze wzoru jak wyżej podstawiając skorygowane x_eff

PRZYKŁAD

Zaprojektować zbrojenie słupa żelbetowego stropu

płytowo-belkowego.

Dane:

b = 0,30 m, h = 0,30 m, l = 4,0 m , N_Ed = 1500 kN

Beton klasy C25/30

f_ck = 25 MPa, f_cd = 25/1,4 = 17,9 MPa, E_cm = 31 GPa

Stal zbrojeniowa klasy C, gatunek B500SP

f_yk = 500 MPa, f_yd = 500/1,15 = 435 MPa, E_s = 200 GPa

Długość efektywna słupa

l₀ = ψ⋅l = 0,7 ⋅ 4,0 = 2,80 m

Uwzględnienie imperfekcji geometrycznych

(odchyłek od „idealnych” założeń)

M_0Ed = M₀^s_Ed + N_Ed ⋅ e

M₀^s_Ed = 0

N_Ed = 1500 kN

mimośród minimalny:

e₀ = h/30 = 300/30 = 10 mm , ale nie mniej niż 20 mm

mimośród wynikający z odchyłek wykonania:

e_i = l₀ / 400 = 2,8 m/400 = 0,007 m

ostatecznie mimośród wynikający z imperfekcji geometr. e = max{10 mm, 20 mm, 7 mm} = 20 mm

M_0Ed = M₀^s_Ed + N_Ed ⋅ e = 0 + 1500 ⋅ 0,020 = 30,0 kNm

Smukłość słupa

Smukłość graniczna

A - czynnik uwzględniający zjawisko pełzania, jeżeli

wartość współczynnika pełzania ϕ_ef nie jest znana

można przyjąć:

A = 0,7

B - czynnik uwzględniający intensywność zbrojenia, jeżeli

wartość ω nie jest znana można przyjąć:

B = 1,1

C - czynnik uwzględniający przebieg momentów, jeżeli

wartość r_m nie jest znana można przyjąć:

C = 0,7

n - względna sila normalna

λ = 32,3 > λ_lim = 11,2 - w dalszych obliczeniach należy

uwzględnić efekty drugiego rzędu

Uwzględnienie efektów drugiego rzędu może być wykonane przy zastosowaniu dwóch metod:

- metody nominalnej sztywności,

- metody nominalnej krzywizny.

Uwzględnienie efektów drugiego rzędu metodą nominalnej sztywności

Całkowity moment obliczeniowy:

M_0Ed - moment pierwszego rzędu

β - współczynnik zależny od rozkładu momentów I i II rzędu

c₀ - współcz. zależny od rozkładu momentów I rzędu

c₀ = 8 (mom. stały), c₀ = 9,6 (rozkład paraboliczny),

c₀ = 12 (symetryczny rozkład trójkątny)

N_Ed = 1500 kN - obliczeniowa siła podłużna

N_B - siła krytyczna obliczana wzorem Eulera

EI - sztywność nominalna

K_c - wspł. zależny od wpływów zarysowania i pełzania

Wartość końcowego wspł. pełzania
przy założeniach:

t₀ = 28 dni

cm = 150 mm

RH = 50 %

odczytano z rysunku 3.1 normy EN 2

= 2,8

Przyjęto, że 80 % obciążeń występuje długotrwale

E_cd - obliczeniowa wartość modułu sprężystości

GPa

I_c - moment bezwładności przekroju betonu

K_s - wspł. zależny od udziału zbrojenia

K_s = 1,0

E_s - obliczeniowa wartość modułu sprężystości stali

E_s = 200 GPa = 200 ⋅ 10³ MPa

I_s - moment bezwładności przekroju zbrojenia względem

środka ciężkości powierzchni betonu

Przyjęto: ρ_s = 0,015 (1,5%)

EI = 0,0622 ⋅ 25,8 ⋅ 10^-3 ⋅ 0,675 ⋅ 10³ +

+ 1,0 ⋅ 200 ⋅ 10³ ⋅ 1,125 ⋅ 10^-5 =

EI = 3,333 MNm

kN

Mimośród wynikający z imperfekcji geometrycznych

Obliczenie przekroju zbrojenia

Przyjęto:

c_nom = 35 mm, φ_zbroj = 20 mm, φ_strzem = 8 mm

wtedy

a₁ = a₂ = 35 + 8 + 0,5 ⋅ 20 = 53 mm

d = h - a₁ = 0,30 - 0,053 = 0,247 m

e_s1 = e + 0,5 ⋅ h - a₁ =0,0338 + 0,5 ⋅ 0,15 - 0,053 = 0,1318 m

e_s2 = d - e_s1 - a₂ = 0,247 - 0,1318 - 0,053 = 0,0612 m

X_eff,lim = ξ_eff,lim ⋅ d = 0,5 ⋅ 0,247 = 0,1235 m

Mamy przypadek małego mimośrodu.

Należy wyliczyć skorygowaną wysokość strefy ściskanej.

Przyjęto: 2 x φ 16 (A_s1 =4,02 cm², A_s2 =4,02 cm²)

Stopień zbrojenia

Rozstaw strzemion:

= 20 ⋅ 16 = 320 mm, b = h = 300 mm, 400mm

Przyjęto:s,_cl,max = 300 mm

---