ćwiczenia 2 - 5 -

Przykład 6

Pionowa winda przemieszcza się z położenia z = 0 w położenie z = 30 m.

Pierwszy odcinek drogi równy h₁ = 4 m, winda porusza się ze stałym przyspieszeniem a₁, następny odcinek drogi pokonuje ze stałą prędkością V₂,

zaś ostatnie trzy metry jest hamowana ze stałym opóźnieniem a₃. Należy wyznaczyć wartości liczbowe przyśpieszenia a₁, opóźnienia a₃ i prędkości V₂

ruchu jednostajnego, jeżeli wiadomo, że czas jazdy windy jest równy t_C = 6 s

oraz że dla z₁ = 0, t = 0, V₀ = 0.

Rozwiązanie

z V_k = 0 Warunki brzegowe dla poszczególnych odcinków

1. odcinek h₁

h₃ z₃ t = 0, V = V₀ = 0, z₁ = 0; t = t₁, V = V₂, z₁ = h₁

2. odcinek h₂

z₂ t = 0, V = V₂, a₂ = 0, z₂ = 0,

h₂ t = t₂, z₂ = h₂

V₂ = con 3. odcinek h₃

a₂ = 0 t = 0, V = V₂, z₃ = 0

h₁ z₁ t = t₃, V = 0, z₃ = h₃

V₀ = 0 rys.6.1 gdzie: z₁, z₂, z₃ współrzędne lokalne

1. 
   odcinek h₁
   ,
   ,

z warunków brzegowych C₁ = 0, C₂ = 0

równanie ruchu
z warunków brzegowych
,

stąd
,

(6.1)

(6.2)

Niewiadome t₁ i a₁ wyrażone są za pomocą niewiadomej V₂

2. odcinek h₂
,
,

z warunków brzegowych C₁ = 0

równanie ruchu
z warunków brzegowych
(6.3)

3. odcinek h₃ - 6 -

,
,

z warunków brzegowych C₁ = V₂, C₂ = 0

(6.4)

dla z₃ = h₃
,

stąd
(6.5)

całkowity czas ruchu windy t_C = 6 s, dodając (6.1), (6.2), (6.3) otrzymujemy:

stąd

z (6.2)

z (6.5)

z (6.4)

z (6.1)

z (6.3)

Przykład 7

Punkt poruszając się po linii prostej ze stałym przyśpieszeniem, przebywa kolejno drogi s₁ = 2 m, s₂ =4 m w czasach t₁ = 2 s i t₂ = 3 s. Wyznaczyć wartość

liczbową przyśpieszenia a tego punktu.

Rozwiązanie

V₀ t₁ a t₂

s₁

s₂ Rys.7.1

Równanie ruchu punktu jeśli wektor przyśpieszenia a nie ulega zmianie - 7 -

,
,
(7.1)

dla t = 0, V = V₀ z (7.1) C₁ = V₀

dla t = 0, s = 0 z (7.1) C₂ = 0

stąd
(7.2)

dla t₁ = s₁ z (7.2)
stąd
(7.3)

dla t₂ = s₂ z (7.2)
stąd
(7.4)

odejmując (7.4) od (7.3)
,

Przykład 8

Do końca A nierozciągliwej liny AC przywiązane zostało ciało, które może ślizgać się po poziomej prowadnicy. Lina AC przerzucona została przez krążek B, który należy traktować jako punkt i jej koniec C ciągnięty jest z prędkością

V_C = 3 m/s po poziomej prostej znajdującej się w odległości h = 1.2 m od prowadnicy (rys.8.1). Należy wyznaczyć prędkość punktu A w zależności od współrzędnej s (rys.8.1) oraz dla s = 2 m.

x

x A v B

h

C V_C

s

s Rys.8.1

Rozwiązanie

Zgodnie z przyjętym na rysunku zwrotem osi x

długość liny
,

, (8.1)

- 8 -

Przykład 9

Na rysunku 9.1 przedstawiony jest schematycznie mechanizm korbowy składający się z wału korbowego OA, który może obracać się wokół osi O, korbowodu AB, oraz tłoka B. Końce korbowodu połączone są przegubowo z wałem korbowym i tłokiem. Należy wyznaczyć prędkość i przyspieszenie tłoka w przypadku gdy wał korbowy obraca się ze stałą prędkością kątową ω czyli że

* = ωt. Długość OA = r, długość AB = l (rys.9.1).

A

r l

* = ωt

0 β V_B a_B x

B

Rys.9.1

x

Rozwiązanie

(9.1)

z trójkąta 0AB

, gdzie

,
,

Podstawiając cosβ do (9.1) otrzymujemy:

(9.2)

różniczkując równania ruchu (9.2) punktu B, otrzymujemy wzór na prędkość

punktu B

- 9 -

niech k = 0.1 wtedy

czyli jeśli k << 1 to
(9.3)

dla takiego przypadku, przyśpieszenie obliczamy różniczkując równanie (9.3)

dla l = 20cm, r = 2cm, k = 0.1

dla * = 0, π, 2π, 3π.... V_B = 0

dla * = 0, a_B = -rω²(1+k) = -1.01 rω²

dla * = π, a_B = rω²(1- k) = 0.99rω²

Przykład 10

Punkt A porusza się wzdłuż osi x z przyśpieszeniem a (rys.10.1), którego wartość a jest proporcjonalna do odległości wspomnianego punktu od nieruchomego punktu 0 leżącego na tej osi. Wyznaczyć równanie ruchu

punktu A.

V₀ a_x

0 A₀ A x

x₀

x Rys.10.1

Rozwiązanie

niech
wtedy
,
(10.1)

rozwiązaniem równania (10.1) jest równanie ruchu punktu A wzór (10.2)

(10.2)

równanie prędkości
(10.3)

jeśli dla t = 0: 1) x = x₀

2) V = V₀

to z warunku 1) x₀ = D₁ + D₂ (10.4)

z warunku 2)

(10.5)

z sumy (10.4) i (10.5) mamy:
(10.6)

- 10 -

z różnicy (10.4) i (10.5) mamy:
(10.7)

podstawiając D₁ i D₂ do (10.2) i do (10.5) otrzymujemy wzory na równanie:

ruchu punktu

prędkości

---