Wykład 3: Zmienna losowa dyskretna

Zmienna losowa - funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Dokładniej: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej liczb rzeczywistych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisującą wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, także można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami wziętymi z życia mogą być: stan techniczny urządzenia czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6) lub studenta (oceniana w skali 2.0, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0).

Definicja

Niech
będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową (rzeczywistą) nazywamy dowolną funkcję z tej przestrzeni w przestrzeń euklidesową:

.

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. X,Y,Z, odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

Przykład

Niech Ω będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary
, gdzie
jest zmienną losową.

Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.

Rozkład zmiennej losowej - opis wartości przyjmowanych przez zmienną losową przy pomocy prawdopodobieństw , z jakimi one występują.

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa

Sposób 1: tabelka rozkładu prawdopodobieństwa

Sposób 2 (graficzny): wykres punktowy lub histogram (poniżej)

Funkcja opisująca przykładowy dyskretny rozkład prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwa przyjęcia przez zmienną wartości 1,3 i 7 wynoszą odpowiednio 0.2, 0.5, 0.3. Inne wartości mają zerowe prawdopodobieństwo. Taki typ wykresu nazywamy histogramem.

Sposób 3: wzór funkcji rozkładu prawdopodobieństwa

Sposób 4: zbiór par {(1;0.2), (3;0.5), (7;0.3)}

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa to w probabilistyce rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dający się opisać przez podanie wszystkich przyjmowanych przez nią wartości, wraz z prawdopodobieństwem przyjęcia każdej z nich. Funkcja przypisująca prawdopodobieństwo do konkretnej wartości zmiennej losowej jest nazywana funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (probability mass function, pmf). Zachodzi:

gdzie u przebiega zbiór możliwych wartości zmiennej X.

Jeśli zmienna losowa jest dyskretna, wówczas zbiór wszystkich wartości, które przyjmuje z niezerowym prawdopodobieństwem jest skończony lub przeliczalny. Zwykle ten zbiór przyjmowanych wartości jest zbiorem izolowanych punktów.

Przypadek dyskretny

Jeżeli zmienna losowa X jest dyskretna, to jej rozkład jest w pełni określony przez liczby:

,

gdzie
jest zbiorem wszystkich wartości jakie przyjmuje zmienna X.

Każda z liczb p_i jest nieujemna oraz ∑ p_i = 1.

W tej sytuacji rozkładem zmiennej często nazywa się ciąg tych par
, dla których p_i > 0.

Przykład

Niech X oznacza zmienną losową, która przyjmuje wartość 1, jeśli w pojedynczym rzucie monetą wypadł orzeł i −1 jeśli wypadła reszka.

Dystrybuanta rozkładu

Badanie rozkładu można uprościć, jeżeli rozważy się dystrybuantę F_X zmiennej losowej. Dystrybuanta zmiennej z przykładu jak wyżej to funkcja
określona tak:

• F_X(t) = 0 dla t ≤ − 1 ,

• F_X(t) = 1/2 dla -1 < t ≤ 1,

• F_X(t) = 1 dla t > 1.

Dystrybuanta - w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa, a więc zawierająca o nim wszystkie informacje. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa ponieważ, z matematycznego punktu widzenia, są obiektem prostszym niż rozkłady prawdopodobieństwa.

Definicja dystrybuanty

Niech
będzie rozkładem prawdopodobieństwa na prostej. Funkcję
daną wzorem

nazywamy dystrybuantą rozkładu
.

Własności dystrybuanty

Funkcja
jest dystrybuantą wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona niemalejąca, lewostronnie ciągła oraz

.

Korzystając z dystrybuanty, możemy obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń postaci

.

Dystrybuanta w pełni wyznacza rozkład zmiennej losowej - dwie zmienne mające taką samą dystrybuantę mają ten sam rozkład.

Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana (przeciętna, średnia), nadzieja matematyczna - w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły (moment zwykły rzędy 1).

Definicja

Niech X będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw, z jakimi są one przyjmowane.

Formalnie, jeżeli dyskretna zmienna losowa X przyjmuje wartości
z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio
,to wartość oczekiwana
zmiennej losowej X wyraża się wzorem

.

Własności:

Jeśli istnieją
oraz
, to:

• 
  , gdzie c = const., (dla rozkładu jednopunktowego - zdarzenie pewne)

• 
  (wynika z liniowości sumy),

• jeżeli X,Y są niezależne, to
  ,

• jeżeli
  , to
  ,

• 
  ,

• E(X - EX) = 0,

• E(X+Y) = E(X)+E(Y).

Uwaga: W rozkładzie równomiernym wartość oczekiwana jest zwykłą średnią arytmetyczną.

Moment zwykły rzędu n: E(Xⁿ)

---