10. Reguła opuszczania równoważności (OR).
Wyobraź sobie następującą sytuację: osoba prowadząca ćwiczenia z Logiki, zwraca się z pewną dozą rezygnacji w głosie do studenta, który po raz dziesiąty ma zamiar poprawiać kolokwium z rachunku zdań: „Zaliczy Pan kolokwium wtedy i tylko wtedy, gdy bezbłędnie rozwiąże Pan to zadanie” (dodajmy, że zadanie sprawdza stopień opanowania matryc funktorów prawdziwościowych i naprawdę jest proste). Zgodnie z powyższym, student ma pełne prawo przyjąć, że: „Jeżeli rozwiążę bezbłędnie to zadanie, to zaliczę kolokwium” (i ewentualnie pójdę na imprezę do X-a). Podobnie znajomi z grupy, którzy słyszeli to, co powiedział prowadzący ćwiczenia i widzą, że nasz bohater je zaliczył, mogą uznać, że wspomniany student rozwiązał bezbłędnie zadanie, z którym przyszło mu się zmierzyć. Dlaczego? Dlatego, że uznali prawdziwość implikacji: „Jeżeli student zaliczył kolokwium, to bezbłędnie rozwiązał zadanie”.
Ujmijmy teraz powyższe rozumowania w schematy:
α ↔ β α ↔ β
--------- -------- OE (OR)
α → β β → α
Wniosek: Jeżeli uznajemy równoważność, to mamy pełne prawo uznać implikację, której poprzednikiem jest pierwszy człon równoważności, a następnikiem drugi człon równoważności lub vice versa możemy uznać implikację, której poprzednikiem jest drugi człon równoważności, a następnikiem pierwszy człon wspomnianej równoważności. Innymi słowy, jeżeli mamy strzałkę równoważności, to możemy odjąć jej wąsik z dowolnej strony i uzyskać w ten sposób strzałkę implikacji. Prawda, że proste?!
11. Reguła dołączania równoważności (DR).
Oczywistym jest, że: „jeśli woda wrze, to osiągnęła temperaturę 1000C”
(naturalnie przy normalnym ciśnieniu), równie oczywistym jest, że:
„Jeśli woda osiągnie 1000C, to wrze”.
Tym samym nie powinno budzić wątpliwości zdanie głoszące, iż:
„Woda wrze wtedy i tylko wtedy, gdy osiągnie temperaturę 1000C”
(nadal zakładamy, że ciśnienie jest normalne).
Przedstawione rozumowanie może naturalnie ująć w schemat:
α → β
β → α
--------- DR (DE)
α ↔ β
W ten sposób doszliśmy do reguły dołączania równoważności (ekwiwalencji) zgodnie, z którą jeśli mamy dwie strzałki implikacji, to możemy je połączyć i stworzyć strzałkę równoważności, warunek: poprzednikiem (α) jednej z implikacji (α → β) musi być to, co jest następnikiem (α) drugiej implikacji (β → α), zaś następnikiem (β) to, co jest poprzednikiem (β) drugiej implikacji.
12. Reguła negowania koniunkcji (NK).
Spotyka się trzech studentów po egzaminie. Dwóch z nich (A i B) wraca właśnie z dziekanatu, w którym ogłoszone zostały wyniki egzaminu. Trzeci (C), udający się właśnie do dziekanatu, stawia im pytanie:
C: Nie wiecie jaką ocenę dostałem?
A: Chyba 4 lub 5.
B: Nieprawda.
C: Skąd wiesz?
B: Bo sprawdziłem, że nie dostałeś 5 i nie dostałeś 4. Zapisałem nazwiska tych osób, które dostały ocenę powyżej 3, nie ma Ciebie wśród tych pięciu osób.
Ta krótka rozmowa stanowi przykład wykorzystania reguły NK, którą możemy przedstawić w następujący sposób:
~(α ^ β)
---------- NK
~α v ~β
Naturalnie poprawność przedstawionej reguły bezpośrednio wynika z matrycy koniunkcji.
p |
q |
p ^ q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Spójrz, w regule negujemy koniunkcję, czyli - w pewnym uproszczeniu - mówimy, że jest ona fałszywa. Koniunkcja zaś jest fałszywa wówczas gdy pierwszy (p) lub drugi (q) z jej członów jest fałszywy. W poprzednim zdaniu celowo użyłem spójnika „lub” gdyż koniunkcja jest fałszywa również w sytuacji, gdy oba jej człony są fałszywe. Gdybyś więc powiedział: „Nie jest prawdą, że wczoraj zarazem byłem w kinie i na imprezie” znaczyłoby to, że wczoraj nie byłeś w kinie lub wczoraj nie byłeś na imprezie. Chciałoby się powiedzieć: „logiczne”…
Wniosek: Jeżeli odrzucasz prawdziwość pewnej koniunkcji, to musisz odrzucić prawdziwość pierwszego lub drugiego z jej członów.
13. Reguła negowania alternatywy (NA).
Reguła NA jest bardzo podobna do reguły NK. Jedyne, co robimy, to zamieniamy miejscami koniunkcję z alternatywą:
~(α v β)
---------- NA
~α ^ ~β
Jeżeli więc powiedziałbyś, że: „Nie jest prawdą, że wczoraj byłem w X-ie lub wczoraj byłem w Y-ku” znaczyłoby to, że wczoraj nie byłeś w X-ie i wczoraj nie byłeś w Y-ku. Podobnie, gdyby wspomniana przy okazji OR osoba prowadząca ćwiczenia powiedziała: „Nieprawda, że przejrzała Pani wczoraj notatki lub zajrzała do podręcznika” znaczyłoby to, że zdaniem osoby prowadzącej ćwiczenia wspomniana studentka nie przejrzała wczoraj notatek i nie zajrzała wczoraj do podręcznika.
Pytając o poprawność reguły OA ponownie powrócimy do matryc. Tym razem krótkiej analizie poddamy matrycę alternatywy zwykłej.
p |
q |
p v q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Postawmy pytanie: w jakim przypadku alternatywa zwykła jest fałszywa (takie pytanie stawiamy, gdyż negujemy alternatywę - mówimy, że nie jest prawdziwa)? Odpowiedź jest oczywista: alternatywa zwykła jest fałszywa tylko gdy oba jej człony (p i q) są fałszywe. Tym samym możemy sformułować następujący wniosek: jeżeli zanegujemy alternatywę, to możemy śmiało zanegować pierwszy z jej członów i drugi z jej członów.
14. Reguła negowania implikacji (NI).
Postawmy pytanie, na które odpowiedź powinna być oczywista, kiedy implikacja jest fałszywa? Implikacja naturalnie jest fałszywa tylko w jednym przypadku: gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Jeśli to, co przed chwilą zauważyliśmy zapiszemy symbolicznie, uzyskamy regułę negowania implikacji:
~(α → β)
----------- NI
α ^ ~β
Gdybyś więc powiedział: „Nie jest prawdą, że jeśli dzisiaj napiszę kolokwium, to je zaliczę”, znaczyłoby to, że zakładasz realizację najgorszego scenariusza czyli, że napiszesz dzisiaj kolokwium, ale go nie zaliczysz. Podobnie gdybyśmy powiedzieli, że „nie jest prawdą, iż jeśli natknąłem się na drogówkę, to dzień był udany” mielibyśmy na myśli to, że natknęliśmy się na drogówkę i dzień nie był udany.
Wniosek: jeśli odrzucamy prawdziwość implikacji (negujemy ją), to stwierdzamy, że jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy (negujemy go).
15. Reguła negowania równoważności (NR).
Gdybyśmy uznali prawdziwość następującego zdania: „Nie jest prawdą, że Zygfryd jest uczciwy wtedy i tylko wtedy, gdy przyjmuje łapówki” (wiem, że to przykre, ale obecnie często mierzy się czyjąś uczciwość ilością kopert, które ma w kieszeniach), to śmiało możemy uznać prawdziwość zdania: „Zygfryd nie jest uczciwy wtedy i tylko wtedy, gdy przyjmuje łapówki” oraz możemy uznać prawdziwość zdania: „Zygfryd nie jest uczciwy wtedy i tylko wtedy, gdy nie przyjmuje łapówek”. Regułę NR możemy więc zapisać następująco:
~(α ↔ β) ~(α ↔ β)
----------- ------------ NR (NE)
~α ↔ β α ↔ ~β
Tradycyjnie wykazując poprawność reguły NR odwołamy się do matrycy równoważności.
p |
q |
p ↔ q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Ponownie postawmy pytanie: kiedy równoważność jest fałszywa (punktem wyjścia w regule NR jest bowiem zanegowanie równoważności)? Odpowiedź jest oczywista: równoważność jest fałszywa, gdy oba jej argumenty mają różną wartość logiczną. Jeśli więc wprowadzimy negację i przypiszemy ją tylko do jednego z argumentów prawdziwej równoważności, sprawimy tym, że jego wartość logiczna ulegnie zmianie i całe równoważność będzie fałszywa.
Wniosek: jeżeli negujemy równoważność - czyli sama równoważność znajduje się w nawiasie, a przed nawiasem pojawia się znak negacji ~(α ↔ β) - to śmiało możemy opuścić nawias i przypisać negację do dowolnego z członów równoważności.