Zastosowanie kodeksu reguł wnioskowania dla rachunku zdań nie musi być straszne! Jeśli zdołasz sobie uświadomić ten fakt, to już połowa sukcesu. Zatem: „BEZ PANIKI”.
1. Kodeks reguł wnioskowania dla rachunku zdań - cóż to za diabeł?
Kodeks reguł wnioskowania dla rachunku zdań (w skrócie KRW) jest to zbiór reguł (formuł, wzorów, schematów), które w sposób abstrakcyjny opisują różne rodzaje rozumowań, którymi posługujemy się - w większym bądź mniejszym stopniu - każdego dnia. Tym samym jeśli poświęcimy chwilę czasu i zastanowimy się w jaki sposób przebiegają nasze najzwyklejsze rozumowania, KRW okaże się być bardzo intuicyjny. Pierwszą z reguł, które omówimy będzie reguła negowania negacji.
2. Reguła negowania podwójnej negacji (NN) zwana również regułą opuszczania podwójnej negacji (ON).
Zastanówmy się, gdyby ktoś nam powiedział, że: „Nie jest prawdą, że dzisiaj nie jest ładna pogoda”, to dwie negacje, które pojawiły się w tym zdaniu zniosły by się wzajemnie (jak dwa minusy w matematyce) i sens wspomnianej wypowiedzi byłby następujący: „Dzisiaj jest ładna pogoda”. Podobnie gdyby ktoś powiedział: „Nie jest prawdą, że Zygfryd nie lubi zaglądać do kielicha”, znaczyłoby to, że Zygfryd zdaniem osoby wypowiadającej takie zdanie, jest miłośnikiem szkła. Rozumowania, które przedstawiliśmy można zapisać w postaci następującego schematu:
~~ α
------ ON (NN)
α
Legenda:
ON oraz NN to skróty nazwy reguły, którymi posłużymy się rozwiązując w przyszłości konkretne zadania,
α to symbol zdania,
-------- to tzw. kreska inferencyjna oddzielająca przesłanki naszego rozumowania od wniosku. To, co jest nad kreską inferencyjną, to przesłanki, to zaś, co znajdzie się pod kreską, jest wnioskiem (tym, co możemy wyprowadzić z określonej przesłanki). Powiedzmy od razu, że nie zawsze będzie tak, iż w naszym rozumowaniu pojawi się tylko jedna przesłanka. Niestety w życiu, a zatem i w logice, bywa tak, że określone wnioski budujemy na bazie kilku przesłanek.
Wniosek: reguła ON głosi, iż jeśli w jakiejś wypowiedzi występują dwie negacje, możemy je śmiało opuścić bez szkody dla wartości logicznej danej wypowiedzi.
Poprawność reguły ON wynika naturalnie wprost z matrycy negacji. Przypomnijmy sobie rozbudowaną matrycę negacji i nieco ją rozbudujmy:
p |
~p |
~~p |
~~~p |
~~~~p |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Zauważamy, że w sytuacji gdy wypowiedź ~~p jest prawdziwe, zdanie p również jest prawdziwe, podobnie jeśli wypowiedź ~~p będzie fałszywa, po opuszczeniu podwójnej negacji w dalszym ciągu będziemy mieli do czynienia ze zdaniem fałszywym. Ot i cała trudność reguły ON! Prawda, że proste?
3. Reguła dołączania podwójnej negacji (DN).
W przyrodzie musi być równowaga, każdej akcji towarzyszy reakcja. Jeżeli kopniemy kamień, to on poleci, a nas może rozboleć noga. Jeżeli umówimy się z najlepszą przyjaciółką żony, to z pewnością atmosfera w domu zrobi się odrobinę ciężkawa. Podobnie jest i w logice. Jeśli istnieje reguła opuszczania podwójnej negacji, musi istnieć też reguła dołączania podwójnej negacji.
Zapewne pamiętasz, że gdy mówiliśmy o negacji, stawialiśmy sobie pytanie w jakim celu dołączać do określonej wypowiedzi kilka par negacji, skoro wartość logiczna wypowiedzi nie ulegnie zmianie („Nie prawda, że nie jest tak, iż nie kocham Cię”)? Wówczas powiedzieliśmy, że z tego typu zabiegu korzysta się wówczas, gdy chce się coś powiedzieć, ale jednocześnie z pewnych względów, nie chce się by adresat danej wypowiedzi od razu uchwycił jej sens. Reguły DN opisuje właśnie ten zabieg:
α
------ DN
~~ α
Jeśli chcemy więc powiedzieć: „Logika jest fantastyczna”, a chcemy jednocześnie popisać się naszą znajomością logiki, możemy z powiedzeniem powiedzieć: „Nie jest prawdą, że logika nie jest fantastyczna”. Nieśmiały lecz niewątpliwie romantyczny chłopieć, zamiast wprost powiedzieć do dziewczyny: „Hej Mała, masz ładny zgryz”, może powiedzieć: „Nieprawdą jest, że nie masz ładnego zgryzu”. I nieśmiałemu młodzieńcowi przejdzie takie zdanie łatwiej przez gardło i niewiasta ucieszy się, że zostały docenione (także) jej walory intelektualne (w końcu młodzieniec posłużył się wiedzą czysto logiczną).
Ponownie należy powiedzieć, że poprawność reguły DN wynika wprost z matrycy negacji.
p |
~p |
~~p |
~~~p |
~~~~p |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Zauważmy raz jeszcze, wartość logiczna zdania p niczym nie różni się od wartości logicznej zdania ~~p. Tym samym jeśli zdanie p jest prawdziwe i zdanie ~~p musi być prawdziwe i vice versa, jeśli zdanie p jest fałszywe, zdanie ~~p także musi być fałszywe.
Wniosek: reguła DN głosi, iż do dowolnego zadnia można dołączyć dwie negacje, a wartość logiczna powstałej w ten sposób wypowiedzi będzie taka, jak wartość logiczna zdania wyjściowego.
Bułka z masłem, prawda?
4. Reguła opuszczania koniunkcji (OK).
Zapewne niejednokrotnie zdarzyło się Tobie uczestniczyć w wykładzie (taką mam szczerą nadzieję). Zapewne też zdarzyło się tak, że w trakcie wykładu zanotowałeś kilka słów. Nie wiem czy wiesz, ale wówczas korzystałeś właśnie z reguły opuszczania koniunkcji. Podobnie gdy przygotowujesz się do egzaminu - załóżmy pozostał tydzień - i czytasz podręcznik starając się zapamiętać jego treść przyznasz, że szaleństwem byłoby podjęcie próby zapamiętania absolutnie wszystkiego, co zostało napisane w podręczniku. Być może bierzesz w dłoń marker i zakreślasz te fragmenty, które uznajesz za istotne, a tym samym warte zapamiętania. Wiesz, że w tej sytuacji również korzystasz z reguły OK?
Zapiszmy schemat reguły OK i zastanówmy się cóż takiego on głosi.
α ^ β α ^ β
------- ------- OK
α β
Zgodnie z tym co zapisano wyżej, jeżeli uznamy prawdziwość pewnej koniunkcji, musimy też uznać prawdziwość pierwszego jej członu, jak i drugiego jej członu. Jeżeli więc uznajesz prawdziwość wypowiedzi, która głosi, że w tej chwili siedzisz przed komputerem i czytasz informacje dotyczące reguły opuszczania koniunkcji, to musisz uznać prawdziwość zdania głoszącego, że w tej chwili siedzisz przed komputerem, jak i musisz uznać prawdziwość zdania głoszącego, że czytasz w tej chwili informacje dotyczące reguły opuszczania koniunkcji. Podobnie rzecz miała się również w przypadku wspomnianego wykładu i podręcznika. Jeżeli wszystko, co zostało powiedziane na wykładzie, jest prawdą, to także te zdania, które uznałeś za istotne i w związku z tym zapisałeś muszą być prawdziwe. Podobnie, skoro wszystko, co zostało napisane w podręczniku jest prawdą, to i także zdania, które wyróżniłeś w tekście, muszą być prawdziwe. Proste!!!
Naturalnie reguła opuszczania koniunkcji ma swój fundament w matrycy tego funktora.
p |
q |
p^q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Spójrz, w sytuacji gdy koniunkcja jest prawdziwa oba jej argumenty - „p” i „q” - są prawdziwe i inaczej być nie może. Fałszywość dowolnego z argumentów pociągałaby za sobą fałszywość koniunkcji. Zauważ, że gdy wprowadzaliśmy regułę OK założyliśmy, że koniunkcja jest prawdziwa, innymi słowy uznaliśmy prawdziwość przesłanki (koniunkcji) i na tej podstawie sformułowaliśmy określone wnioski.
Wniosek: jeżeli uznajemy prawdziwość pewnej koniunkcji musimy uznać także prawdziwość jej członów.
5. Reguła dołączania koniunkcji (DK).
Analogiczne jak w przypadku reguły opuszczania podwójnej negacji istniała reguła dołączania podwójnej negacji, tak w przypadku reguły opuszczania koniunkcji istnieje reguła dołączania koniunkcji.
Gdybyś miał ochotę powiedzieć komuś: „Dzisiaj widziałem fantastyczną dziewczynę” oraz „Dzisiaj miałem bliskie spotkanie z chłopakiem fantastycznej dziewczyny” mógłbyś obie informacje wyrazić w jednym zdaniu brzmiącym: „Dzisiaj widziałem fantastyczną dziewczynę i miałem bliskie spotkanie z jej chłopakiem”. Oczywistym bowiem jest, że nie zawsze mówimy posługując się tylko zdaniami prostymi, czasem budujemy zdania złożone. Jeżeli oba zdania proste są prawdziwe i zdanie złożone zbudowane ze wspomnianych zdań prostych oraz koniunkcji będzie prawdziwe. Raz jeszcze przypatrzmy się matrycy koniunkcji.
p |
q |
p^q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Postawmy teraz pytanie: kiedy koniunkcja jest prawdziwa? Odpowiedź jest oczywista, koniunkcja jest prawdziwa gdy oba jej człony są prawdziwe. Tym samym możemy sformułować następujący wniosek: jeżeli uznajemy prawdziwość dwóch zdań, musimy również uznać prawdziwość koniunkcji, której członami są wspomniane dwa zdania. Proste jak 2+2=4!!!
Schematycznie regułę DK przedstawimy w następujący sposób:
α
β
------- DK
α ^ β
6. Reguła opuszczania alternatywy (OA).
Gdyby ktoś nam oznajmił: „Wieczór dzisiaj spędzę w restauracji meksykańskiej lub w konie”, a my dziwnym zbiegiem okoliczności trafilibyśmy wieczorem do wspomnianej restauracji meksykańskiej, w której jednak nie zastalibyśmy osoby, od której usłyszeliśmy powyższe zdanie, moglibyśmy dojść do wniosku, że ta osoba spędza wieczór w kinie. Podobnie w sytuacji gdybyśmy zdecydowali się pójść do kina, w którym wspomnianej osoby jednak by nie było, doszlibyśmy do wnioski, że zapewne wcina ona nachos w restauracji meksykańskiej.
Powyższe rozumowania wydają się wręcz trywialne i faktycznie reguła OA jest trywialna. Schematycznie możemy ją przedstawić następująco:
α v β α v β
~α ~β
--------- -------- OA
β α
Ponownie poprawność reguły OA gwarantuje matryca alternatywy zwykłej.
p |
q |
p v q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Postawmy następujące pytanie: jaką wartość logiczną posiada drugi z członów prawdziwej alternatywy, jeśli pierwszy jest fałszywy? Przyjrzyjmy się matrycy alternatywy i odpowiedź stanie się oczywista. Jeśli alternatywa (p v q) jest prawdziwa, a pierwszy z jej członów (p) jest fałszywy, to drugi (q) musi być prawdziwy. Gdyby i „q” było fałszywe, wówczas alternatywa nie mogłaby być prawdziwa. Analogicznie, jeżeli drugi z argumentów (q) prawdziwej alternatywy jest fałszywy, wówczas pierwszy (p) musi być prawdziwy. Prawda, że proste?
Zatem gdyby ktoś powiedział, że prześle nam określoną wiadomość mailem lub wyśle tradycyjny list i mail w rozsądnym terminie nie dotarłby do nas, moglibyśmy podejrzewać, że wkrótce otrzymamy list z interesującą nas informacją.
Wniosek: jeżeli uznajemy prawdziwość pewnej alternatywy, a wiemy, że jeden z jej członów jest fałszywy, wówczas uznać musimy prawdziwość drugiego z jej członów.
7. Reguła dołączania alternatywy (DA).
Wyobraźmy sobie następującą sytuację: przeglądamy ogłoszenia prasowe w dziale „dam pracę”. Przyszły pracodawca określając warunki zatrudnienia na określonym stanowisku stawia następujące wymaganie: „wymagana znajomość języka angielskiego lub niemieckiego”. Jeśli znamy tylko język angielski możemy przeprowadzić następujące rozumowanie: „skoro znam język angielski, to prawdą jest, że znam język angielski lub niemiecki”. Podobnie gdybyśmy znali tylko język niemiecki, moglibyśmy z powodzeniem dojść do przytoczonego wyżej wniosku. Jeśli powyższe rozumowania zapiszemy w sposób symboliczny, ujrzymy regułę DA.
α β
------- ------- DA
α v β α v β
Ponownie poprawność reguły DA zagwarantowana jest przez matrycę alternatywy. Jeżeli pierwszy z członów alternatywy zwykłej jest prawdziwy, wówczas bez względu na to jaka jest wartość drugiego z członów, alternatywa jest prawdziwa. Podobnie, jeśli drugi z członów jest prawdziwy, wówczas cała alternatywa bez wątpienia jest również prawdziwa.
Wniosek: jeżeli uznajemy prawdziwość któregoś z członów alternatywy zwykłej, możemy uznać prawdziwość całej alternatywy.
8. Reguła modus ponendo ponens (MPP).
W regule modus ponendo ponens, zwanej także reguła odrywania, głównym bohaterem jest implikacja. Gdyby ktoś uznawał prawdziwość zdania: „jeżeli spotkam kominiarza, to będę miał dobry dzień” i spotkał kominiarza, mógłby uznać, że dzień będzie dla niego pomyślny. Podobnie jeżeli ktoś uznaje prawdziwość zdania: „jeśli zjem zbyt duża porcję spaghetti, to będę miał kłopoty z żołądkiem” i zje nieprzyzwoicie dużą porcję spaghetti, może podejrzewać, że żołądek wkrótce przypomni mu o swoim istnieniu.
Gdybyśmy chcieli ująć zaprezentowane wyżej rozumowania w pewien schemat, wyglądałby on następująco:
α -> β
α
------- MPP (RO)
β
Poprawność reguły MPP zagwarantowana jest naturalnie przez matrycę implikacji.
p |
q |
p -> q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Postawmy pytanie, jaką wartość logiczną musi mieć następnik prawdziwej implikacji, jeśli wiemy, że poprzednik jest prawdziwy? Oczywiście następnik musi być prawdziwy!!! Gdyby następnik był fałszywy, wówczas zachodziłby jedyny przypadek fałszywości implikacji, czyli prawdziwość poprzednika i fałszywość następnika, a my wyraźnie powiedzieliśmy, że implikacja jest prawdziwa.
Wniosek: jeżeli uznajemy prawdziwość implikacji i wiemy, że jej poprzednik jest prawdziwy, wówczas śmiało możemy uznać prawdziwość jej następnika.
9. Reguła modus tollendo tollens (MTT).
W dalszym ciągu pozostajemy pod wpływem implikacji, tym razem jednak punktem wyjścia będzie dostrzeżenie fałszywości następnika prawdziwej implikacji. Jeśli bowiem następnik implikacji jest fałszywy, a sama implikacja prawdziwa, wówczas poprzednik nie może być prawdziwy, musi być natomiast fałszywy.
α -> β
~β
------- MTT
~α
Jeśli brzmi to zbyt zawile raz jeszcze spójrzmy na matrycę implikacji.
p |
q |
p -> q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Powiedzieliśmy, że implikacja (p -> q) jest prawdziwa. Dodaliśmy też, że jej następnik (q) jest fałszywy i zapytaliśmy o wartość logiczną poprzednika (p). Oczywiście w opisanej sytuacji poprzednik musi być fałszywy, gdyby bowiem był prawdziwy implikacja nie mogłaby być prawdziwa, musiałaby być fałszywa.
Zatem jeżeli ktoś uznaje prawdziwość następującej implikacji: „Jeżeli wczoraj był poniedziałek, to dzisiaj jest wtorek”, ale ten ktoś wie, że dzisiaj nie jest wtorek, zatem nie może uznać, że wczoraj był poniedziałek. Podobnie, jeżeli ktoś uznaje prawdziwość zdania: „jeśli zrozumiem kodeks reguł wnioskowania dla rachunku zdań, to będę w stanie rozwiązać zadania znajdujące się w tym dziale”, lecz nie jest w stanie rozwiązać wspomnianych zadań, wówczas musi przyznać, że nie zrozumiał kodeksu reguł wnioskowania dla rachunku zdań.
Wniosek: Jeżeli ktoś uznaje prawdziwość pewnej implikacji, a jednocześnie odrzuca prawdziwość jej następnika, wówczas musi odrzucić również prawdziwość jej poprzednika.