Wykład szósty

Temat VIII

Logika tradycyjna

Wnioskowanie bezpośrednie

Klasyczne zdania kategoryczne (subsumpcyjne)

Terminologia

- termin (łac. terminus - znak) teorii nazw - nazwa występująca jako podmiot lub orzecznik orzeczenia imiennego.

- subsumpcja (łac. sub pod, sumptio przyjęcie) - podporządkowanie pojęcia mniej ogólnego pojęciu bardziej ogólnemu.

Zdanie subsumpcyjne orzeka, że jakaś klasa (zbiór w sensie dystrybutywnym) A w całości lub w części zawiera się bądź nie w innej klasie B.

Struktura zdań subsumpcyjnych

S - subiectum - podmiot

P - praedicatum - orzecznik

S jest P

Każde/Niektóre S są/nie są P

Klasyczne zdania kategoryczne (subsumpcyjne)

1) Zdania ogólno-twierdzące: Każde S jest P; S a P; a

2) Zdania ogólno-przeczące: Każde (Żadne) S nie jest P; S e P; e

3) Zdania szczegółowo-twierdzące: Niektóre S są P; S i P; i

4) Zdania szczegółowo-przeczące: Niektóre S nie są P; S o P; o

Zdania ogólne:(1) interpretacja mocna: ZA ≠ ∅; (2) interpretacja słaba: ZA ≠ ∅ ∨ ZA = ∅

Przy interpretacji mocnej (1) zdanie np. Każdy syn bezdzietnej matki jest mężczyzną jest fałszywe, przy interpretacja słabej (2) - prawdziwe.

Zdania szczegółowe: (1) ZA ⊆ ZB; nie (2)ZA ⊄ ZB.

Przy interpretacji (1) zdanie np. Niektóre wróble są ptakami jest prawdziwe, przy interpretacji (2) - fałszywe.

Charakterystyka zdań subsumpcyjnych

ilość:

1) ogólność - zdanie orzeka o całej klasie A

2) szczegółowość - zdanie orzeka o niektórych elementach klasy A

jakość:

1) twierdzenie - zdanie orzeka, że klasa wymieniona w podmiocie zdania (A) zawiera się w klasie wymienionej w jego orzeczeniu (B).

2) przeczenie - zdanie orzeka, że klasa wymieniona w podmiocie zdania (A) nie zawiera się w klasie wymienionej w jego orzeczeniu (B).

walor zdania subsumpcyjnego: ilość, jakość.

Mnemotechnika teorii nazw:

1) Pierwsze cztery samogłoski w kolejności alfabetycznej: a, e, i, o

2) Ustalanie waloru:

ilość: a, e  i, o; dwie pierwsze: a, e - ogólne; dwie ostatnie: a, e - szczegółowe

jakość: affirmo (o - skreślamy); nego

twierdzące - samogłoski z wyrazu affirm: a, i

przeczące - samogłoski z wyrazu nego: e, o

Tę symbolikę wprowadził Piotr Hiszpan (1226 - 1277) późniejszy papież Jan XXI w podręczniku Summulae logicales.

Stosunki pomiędzy dwoma zdaniami w sensie logicznym

p, q - zmienne zdaniowe

1) sprzeczność (łac. contradictio)

Dwa zdania są ze sobą sprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy nie mogą być jednocześnie prawdziwe, ani nie mogą być jednocześnie fałszywe.

Jeśli jedno ze zdań jest prawdziwe, to drugie jest fałszywe. Jeśli jedno ze zdań jest fałszywe, to drugie jest prawdziwe.Jedno z pary sprzecznych jest negacją drugiego.

Przykład:

p - Każde miasto jest ludzkim osiedlem.

q - Pewne miasto nie jest ludzkim osiedlem.

2) przeciwieństwo (łac. contrarietas)

Dwa zdania są przeciwne wtedy i tylko wtedy, gdy nie mogą być jednocześnie prawdziwe, ale mogą być jednocześnie fałszywe.

Jeśli jedno ze zdań jest prawdziwe, to wynika z tego, że drugie jest fałszywe.Fałszywość jednego ze zdań przeciwnych nie przesądza o prawdziwość drugiego.

Przykład:

p - Każdy motyl jest owadem.

q - Żaden motyl nie jest owadem.

p - Jan jest zawodowym kierowcą.

q - Jan jest niewidomy.

3) podprzeciwieństwo (łac. subcontrarietas)

Dwa zdania są podprzeciwne wtedy i tylko wtedy, gdy nie mogą być jednocześnie fałszywe, ale mogą być jednocześnie prawdziwe.

Jeśli jedno ze zdań jest fałszywe, to wynika z tego, że drugie jest prawdziwe.

Ale z prawdziwości jednego ze zdań podprzeciwnych nie wynika fałszywość drugiego.

Przykład:

p - Pewne ptaki są jaskółkami.

q - Pewne ptaki nie są jaskółkami.

p - Pewne kwiaty są kamieniami.

q - Pewne kwiaty nie są kamieniami.

4) podporządkowanie (łac. subalternatio)

Zdanie q jest podporządkowane zdaniu p wtedy i tylko wtedy, gdy: jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to prawdziwe jest także zdanie q, oraz jeżeli zdanie q jest fałszywe, to fałszywe jest też zdanie p.

Przykład:

p - Każdy wieloryb jest ssakiem.

q - Niektóre wieloryby są ssakami.

Zapis matrycowy (tabelkowy) stosunków między dwoma zdaniami

1) p i q - sprzeczne

p	q		q	p
1	0		1	0
0	1		0	1

2) p i q - przeciwne

p	q		q	p
1	0		1	0
0	1/0		0	1/0

3) p i q - podprzeciwne

p	q		q	p
1	1/0		1	1/0
0	1		0	1

4) q podporządkowane p

p	q		q	p
1	1		1	1/0
0	1/0		0	0

Kwadrat logiczny

Zdania w sensie logicznym p, q, r, s tworzą kwadrat logiczny wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą między nimi przedstawione poniżej zależności:

1. (1)

p (2) q

(4) (4)

r (3) s

(1) p, s oraz q, r - sprzeczność

(2) p, q - przeciwieństwo

(3) r, s - podprzeciwieństwo

(4) r podporządkowane p, s podporządkowane q

Wnioskowanie bezpośrednie

Przekształcenia klasycznych zdań kategorycznych (subsumpcyjnych)

Założenie: S, P, S', P' - niepuste

ZS∩ZP∩ZS'∩ZP' ≠ ∅

Przekształcenia (f ) klasycznych zdań kategorycznych polegają na:

a) zamianie nazw miejscami

b) zamianie nazwy na nazwę względem niej negatywną

c) zmianie waloru (ilości lub jakości)

Ad c) zmiany waloru:

1) zmianie jakości zdania subsumpcyjnego bez zmiany ilości: ae; io

2) zmianie ilości zdania subsumpcyjnego bez zmiany jakości: ai; eo

3) zmiania jakości i ilości jednocześnie: ao; ei

f, g - przekształcenia zdań subsumpcyjnych

w - walor zdania subsumpcyjnego (a, e, i, o)

S w P - zdania bazowe danego przekształcenia

Superpozycję funkcji f i g będziemy oznaczali przez g○f. Na przykład jeśli

Przekształcenie złożone g○f jest superpozycją wykonanych kolejno przekształceń: f , a następnie g.

Jeżeli f: S w P → f (S w P), a g: S w P → g (S w P), to przekształceniem złożonym g○f będzie:

g○f (S w P) → g (f(S w P))

Np. Jeśli f - konwersja, g - obwersja, to obwersją wyniku konwersji będzie g○f (S w P), (nie jest ona tym samym, co konwersja wyniku obwersji !)

Przekształcenia klasycznych zdań kategorycznych polegają wyłącznie na ich formalnym przekształceniu według podanych reguł.

Natomiast prawa wnioskowania bezpośredniego są prawami logicznymi, ustalającymi zależności między zdaniami kategorycznymi i zdaniami przekształconymi.

1. Konwersja (łac. conversio - odwrócenie)

Konwersja zdania kategorycznego polega na zamianie w nim miejscami podmiotu z orzecznikiem (subiectum z praedicatum).

Konwersja:

S a P ⇒ P a S - Każde P jest S

S e P ⇒ P e S - Żadne P nie jest S

S i P ⇒ P i S - Niektóre P są S

S o P ⇒ P o S - Niektóre P nie są S

S a P ⇒ P a S - czytamy: Konwersją zdania S a P jest P a S.

Prawa konwersji i odpowiadające im schematy logiczne:

1) S e P ≡ P e S

S e P

P e S

2) S i P ≡ P i S

S i P

P i S

3) S a P → P i S

S a P

P i S

4) S e P → P o S

S e P

P o S

Zdania ogólno przeczące oraz szczegółowo twierdzące (e, i) są równoważne swoim konwersjom, ponadto

Zdania ogólne (a, e) pociągają konwersję zdań podporządkowanych.

Prawo, że zdanie a pociąga konwersję zdania i jest nazywane prawem konwersji ograniczonej (conversio per accidens).

Nie zachodzi: S a P → P a S, oraz S o P ≡ P o S !

Przykłady zastosowania praw konwersji:

S a P

P i S

S - metal

P - dobry przewodnik ciepła

Jeżeli każdy metal jest dobrym przewodnikiem ciepła, to pewien dobry przewodnik ciepła jest metalem.

S i P

P i S

S - Polak

P - obywatel Francji

Jeżeli pewni (niektórzy) Polacy są obywatelami Francji, to pewni (niektórzy) obywatele Francji są Polakami.

2. Obwersja (łac. obversio - obrócenie)

Obwersja polega na:

1) dodaniu do orzecznika negacji przynazwowej (zastąpieniu praedicatum przez nazwę względem niej negatywną), oraz

2) zmianie jakości zdania subsumpcyjnego bez zmiany ilości: ae, io

Obwersja:

S a P ⇒ S e P' - Żadne S nie jest nie-P

S e P ⇒ S a P' - Każde S jest nie-P

S i P ⇒ S o P' - Niektóre S nie nie-P

S o P ⇒ S i P' - Niektóre S są nie-P

S a P ⇒ S e P' - czytamy: S e P' - obwersja zdania S a P

Prawa obwersji i odpowiadające im schematy logiczne:

1) S a P ≡ S e P'

S a P

S e P'

2) S e P ≡ S a P'

S e P

S a P'

3) S i P ≡ S o P'

S i P

S o P'

4) S o P ≡ S i P'

S o P

S i P'

Każde klasyczne zdanie kategoryczne jest równoważne swojej obwersji.

Komentarz: Prawa obwersji pozwalają: a) przesuwać zaprzeczenie w obrębie zdania, tj. zamieniać zwrot: nie jest x, na jest nie-x i odwrotnie, b) zastępować zdanie przeczące zdaniem zredagowanym jako twierdzące (przez podanie nazwy negatywnej) i vice versa.

Przykłady zastosowania praw obwersji:

S a P

S e P'

S - człowiek

P - śmiertelny (istota śmiertelna)

Jeżeli każdy człowiek jest śmiertelny, to każdy (żaden) człowiek nie jest nieśmiertelny.

S o P

S i P'

S - ssak

P - koń

Jeżeli pewien ssak nie jest koniem, to pewien ssak jest nie-koniem.

2'. Obwersja wyniku konwersji

Obwersja wyniku konwersji jest superpozycją: a) konwersji zdań kategorycznych,

b) obwersji zastosowanej do wyników tego przekształcenia:

a) Konwersja:

S a P ⇒ P a S

S e P ⇒ P e S

S i P ⇒ P i S

S o P ⇒ P o S

b) Obwersja zastosowana do wyniku konwersji (nie odwrotnie!):

P a S ⇒ P e S'

P e S ⇒ P a S'

P i S ⇒ P o S'

P o S ⇒ P i S'

Obwersja wyniku konwersji:

S a P ⇒ P e S' - Żadne P nie jest nie-S

S e P ⇒ P a S' - Każde P jest nie-S

S i P ⇒ P o S' - Niektóre P nie są nie-S

S o P ⇒ P i S' - Niektóre P są nie-S

Prawa obwersji wyniku konwersji i odpowiadające im schematy logiczne:

1) S e P ≡ P a S'

S e P

P a S'

2) S i P ≡ P o S'

S i P

P o S'

3) S a P → P o S'

S a P

P o S'

4) S e P → P i S'

S e P

P i S'

Zdania ogólno przeczące oraz szczegółowo twierdzące (e, i ) są równoważne swoim obwersjom wyniku konwersji, ponadto

Zdania ogólne (a, e) pociągają obwersję wyniku konwersji zdań podrzędnych.

Komentarz: Prawa obwersji wyniku konwersji są strukturalnie równoważne prawom konwersji.

3. Kontrapozycja zupełna (łac. contra-positio - pozycja przeciwna, antyteza; positio - teza)

Kontrapozycja zupełna polega na:

1) zamianie miejscami podmiotu z orzecznikiem (subiectum z praedicatum = konwersja)

2) zanegowaniu obu terminów (dodaniu do podmiotu i orzecznika negacji przynazwowej).

Kontrapozycja zupełna to obwersja kontrapozycji częściowej (p. dalej) lub obwersja konwersji wyniku obwersji.

Kontrapozycja zupełna

S a P ⇒ P'a S' - Każde nie-P jest nie-S

S e P ⇒ P'e S' - Żadne nie-P nie jest nie-S

S i P ⇒ P' i S' - Niektóre nie-P są nie-S

S o P ⇒ P'o S' - Niektóre nie-P nie są nie-S

Kontrapozycja zupełna odpowiada transpozycji w klasycznym rachunku zdań.

Prawa kontrapozycji zupełnej i odpowiadające im schematy logiczne:

1) S a P ≡ P'a S'

S a P

P'a S'

2) S o P ≡ P'o S'

S o P

P'o S'

3) S e P → P' o S'

S e P

P'o S'

Zdania ogólno twierdzące oraz szczegółowo przeczące (a, o) są równoważne swoim kontrapozycjom zupełnym.

Zdanie ogólno przeczące pociąga kontrapozycję zupełną zdania podporządkowanego.

Nie ma prawa kontrapozycji zupełnej dla zdań szczegółowo twierdzących.

Komentarz: Zastosowanie prawa kontrapozycji zupełnej. Jeżeli w sytuacji, w której wszystkie przedmioty określonego rodzaju mają pewną cechę (P), u jakiegoś przedmiotu stwierdzimy brak tej cechy, tj. stwierdzimy P', to wnosimy, że nie należy on do przedmiotów danego rodzaju.

Przykłady zastosowania praw kontrapozycji zupełnej:

S a P

P'a S'

S - adwokat

P - prawnik

Jeżeli każdy adwokat jest prawnikiem, to każdy nie-prawnik jest nie-adwokatem.

3'. Kontrapozycja częściowa

Kontrapozycja częściowa polega na:

1) dodaniu do orzecznika negacji przynazwowej (zastąpieniu praedicatum przez nazwę względem niej negatywną),

2) zmianie jakości zdania subsumpcyjnego bez zmiany ilości: ae, io, oraz

3) zamianie miejscami podmiotu z orzecznikiem (subiectum z praedicatum).

Przekształcenia (1) i (2) dają obwersję, przekształcenie (3) jest konwersją; inaczej mówiąc, kontrapozycja częściowa to konwersja wyniku obwersji.

Kontrapozycja częściowa:

S a P ⇒ P'e S - Żadne nie-P nie jest S

S e P ⇒ P'a S - Każde nie-P jest S

S i P ⇒ P'o S - Niektóre nie-P nie są S

S o P ⇒ P'i S - Niektóre nie-P są S

Prawa kontrapozycji częściowej i odpowiadające im schematy logiczne:

1) S a P ≡ P'e S

S a P

P'e S

2) S e P → P' i S

S e P

P'i S

3) S o P ≡ P' i S

S o P

P'i S

Zdania ogólno twierdzące oraz szczegółowo przeczące (a, o) są równoważne swoim kontrapozycjom częściowym.

Zdanie ogólno przeczące pociąga kontrapozycję częściową zdania podporzadkowanego.

Nie ma prawa kontrapozycji częściowej dla zdań szczegółowo twierdzących.

Komentarz: Prawa obu rodzajów kontrapozycji są strukturalnie równoważne.

Przykłady zastosowania praw kontrapozycji częściowej:

S a P

P'e S

S - wróbel

P - ptak

Jeżeli każdy wróbel jest ptakiem, to żaden nie-ptak nie jest wróblem.

4. Inwersja zupełna (łac. inversio - zamiana)

Inwersja zupełna polega na:

1) dodaniu negacji przynazwowej do podmiotu i orzecznika (zastąpieniu subiectum i praedicatum przez nazwy negatywne)

2) zmianie ilości zdania subsumpcyjnego bez zmiany jakości: ai; eo

Inwersja zupełna:

S a P ⇒ S' i P' - Niektóre nie-S są nie-P

S e P ⇒ S' o P' - Niektóre nie-S nie są nie-P

S i P ⇒ S' a P' - Każde nie-S jest nie-P

S o P ⇒ S'e P' - Żadne nie-S nie jest nie-P

Prawa inwersji zupełnej i odpowiadające im schematy logiczne:

1) S a P → S' i P'

S a P

S' i P'

2) S e P → S' o P'

S e P

S' o P'

Zdania ogólne (a, e) pociągają swoje inwersje zupełne.

Prawa inwersji zupełnej obejmują tylko zdania ogólne (a, e); inaczej, nie ma praw inwersji zupełnej dla zdań szczegółowych.

4'. Inwersja częściowa

Inwersja częściowa polega na:

1) dodaniu negacji przynazwowej do podmiotu (zastąpieniu subiectum przez nazwę negatywną)

2) zmianie obu walorów (jakości i ilości): ao; ei

Inwersja częściowa:

S a P ⇒ S' o P - Niektóre nie-S nie są P

S e P ⇒ S' i P - Niektóre nie-S są P

S i P ⇒ S' e P - Żadne nie-S nie są P

S o P ⇒ S'a P - Każde nie-S jest P

Prawa inwersji częściowej i odpowiadające im schematy logiczne:

1) S a P → S' o P

S a P

S' o P

2) S e P → S' i P

S e P

S' i P

Zdania ogólne (a, e) pociągają swoje inwersje częściowe.

Prawa inwersji częściowej obejmują tylko zdania ogólne (a, e); inaczej, nie ma praw inwersji częściowej dla zdań szczegółowych.

Prawa obu rodzajów inwersji: zupełnej i częściowej są strukturalnie równoważne.

Wnioskowanie bezpośrednie - zestawienia

Formalne przekształcenia zdań kategorycznych

lp.	Nazwa przekształcenia	S a P	S e P	S i P	S o P
l.	konwersja	P a S	P e S	P i S	[P o S]
2.	obwersja	S e P'	S a P'	S o P'	S i P'
3.	obwersja wyniku konwersji	P e S'	P a S'	P o S'	[P i S']
4.	kontrapozycja zupełna	P'a S'	P'e S'	[P'i S']	P'o S'
5.	kontrapozycja częściowa	P'e S	P'a S	[P'o S]	P'i S
6.	inwersja zupełna	S' i P'	S'o P'	[S'a P']	[S'e P']
7.	inwersja częściowa	S'o P	S' i P	[S' e P]	[S' a P]

W nawiasach kwadratowych podane są przekształcenia czysto formalne.

Prawa wnioskowania bezpośredniego

lp.	Nazwa wnioskowania	S a P	S e P	S i P	S o P
l.	konwersja	P i S	P e S	P i S	_
2.	obwersja	S e P'	S a P'	S o P'	S i P'
3.	obwersja wyniku konwersji	P o S'	P a S'	P o S'	_
4.	kontrapozycja zupełna	P'a S'	P'o S'	_	P'o S'
5.	kontrapozycja częściowa	P'e S	P'i S	_	P'i S
6.	inwersja zupełna	S' i P'	S'o P'	_	_
7.	inwersja częściowa	S'o P	S' i P	_	_

1

---