Wykład trzeci

Temat V

Metodologia logiki

Metodologia logiki - prawa i reguły dowodzenia

1. Twierdzenie - prawo nauki w naukach (systemach) dedukcyjnych

Formalny zapis prawa nauki (w naukach empirycznych)

D - dziedzina; (zbiór) faktów/ zjawisk/ własności przedmiotów x, x∈ D

P - predykat określający warunki zachodzenia prawa; zasięg prawa

Q - właściwa treść prawa wyrażona w języku teorii predykatów; Q określa zjawisko/własność, które prawo przypisuje przedmiotom z jego zasięgu.

∀ x ∈D [P(x) → Q(x)]

Prawo nauki w systemach dedukcyjnych

Twierdzenie; struktura i reguły dowodzenia twierdzenia

W naukach (systemach) dedukcyjnych, do których logika formalna należy, prawa nauki (będące prawdziwymi zdaniami w sensie logicznym) mają postać twierdzeń, tj. zdań posiadających uzasadnienie w postaci dowodu.

Struktura twierdzenia: twierdzenie składa się z założenia twierdzenia oraz tezy.

Założeniem twierdzenia jest zdanie/a w sensie logicznym, które jest prawdziwe bądź które przyjmujemy za prawdziwe, ponieważ stanowi warunek prawdziwości (zachodzenia) tezy.

Założenie w systemach dedukcyjnych w definicji prawa nauki odpowiada predykatowi P(x) określającemu warunki zachodzenia prawa.

Tezą twierdzenia jest takie zdanie/a w sensie logicznym, którego prawdziwość (zachodzenie, obowiązywanie) dane twierdzenie głosi, które jednak należy udowodnić.

Tezie twierdzenia w definicji prawa nauki odpowiada predykat Q(x) wyrażającemu

właściwą treść danego prawa.

Dowodzenie

Dowodzenie to czynność myślowa (rozumowanie), która polega na tym, że uznając jakieś zdanie lub zdania za dowodliwe, tj. dające się uzasadnić, poszukujemy w pewnym zbiorze zdań już uznanych za prawdziwe racji dla takich zdań. Jeśli takie zdanie (rację) znajdziemy, to wnioskujemy z niego o prawdziwości zdania dowodzonego. W swojej końcowej fazie dowodzenie polega na przeprowadzeniu pewnego wnioskowania dedukcyjnego, tj. takiego, w którym na podstawie znalezionej racji stwierdzamy zachodzenie następstwa.

W systemie dedukcyjnym dowodzenie polega na podaniu dowodu (przeprowadzeniu wnioskowania dedukcyjnego). Dowód składa się z serii kroków dowodowych: takiej sekwencji rozumowań, które od założenia twierdzenia prowadzą do jego tezy. Kolejne kroki, przejścia od danego punktu dowodu do kolejnego, przeprowadza się w sposób ścisły, postępując rygorystyczny w ramach przyjętych w danym systemie dedukcyjnym reguł dowodowych.

Rodzaje dowodów:

1) wprost

2) nie wprost (apagogiczny)

Ad 1) ) Dowodzenie wprost polega na przeprowadzeniu takiej procedury, w której od przyjętych założeń twierdzenia dochodzimy, posługując się wyłącznie regułami dowodzenia do postulowanej tezy. Przy dowodzeniu wprost stosujemy prawo logiczne klasycznego rachunku zdań modus ponendo ponens na metapoziomie, tj. jako metodologiczną dyrektywę procedury dowodowej.

Ad 2) Dowodzenie nie wprost (reductio ad absurdum - sprowadzenie do sprzeczności) jest takim rodzajem procedowania, w którym o prawdziwości dowodzonego zdania wnioskujemy dedukcyjnie na podstawie stwierdzenia, że zanegowanie tego zdania prowadzi do fałszywych następstw. Znaczy to, że w dowodzie nie wprost postępowanie dowodowe kończy się uzyskaniem sprzeczności.

Reguły dowodzenia w systemach dedukcyjnych

Reguły dowodzenia w systemie dedukcyjnym to - mówiąc ogólnie - takie zdania, które stwierdzają, że:

Jeśli pewne wyrażenia są tezami tego systemu, to i inne, określone wyrażenia także są

tezami tego systemu.

Trzy podstawowe reguły dowodzenia, jakie przyjmuje się w systemach dedukcyjnych, to:

1) Reguła odrywania (RO):

Jeśli jakaś implikacja oraz jej poprzednik są tezami systemu, to tezą tego systemu jest także jej następnik.

Symbolicznie: jeśli (p → q) oraz p zachodzą (są zdaniami uznanymi w systemie), to możemy uznać, że q.

2) Reguła podstawiania (RP), która mówi, że

Jeśli jakieś wyrażenie jest tezą systemu, to tezą tego systemu jest także wyrażenie, które uzyskujemy przez podstawienie za zmienne w tym wyrażeniu innych wyrażeń należących do tej samej kategorii syntaktycznej co te zmienne.

Regułę podstawiania można też wypowiedzieć następująco:

Jeśli za prawdziwy uznajemy ogólny schemat (ogólne prawo), to musimy też uznać za prawdziwy każdy szczególny przypadek tego schematu (każde konkretne zastosowanie ogólnego prawa).

3) Reguła zastępowania (RZ):

Jeśli jakieś wyrażenie jest tezą systemu, to tezą tego systemu jest też wyrażenie, które uzyskujemy przez zastąpienie go innym wyrażeniem, które jest z nim równoważne.

Reguła (1) ma charakter logiczny (inferencyjny), reguły (2) i (3) - syntaktyczny.

2. Logiczne schematy wnioskowania; prawo logiczne

Ogólny schemat wnioskowania:

przesłanka/i

--------------------

wniosek

Przykłady:

1) Ponieważ niektóre ptaki są gołębiami, to niektóre gołębie są ptakami.

Niektóre ptaki są j gołębiami

---------------------------------------

Niektóre gołębie są ptakami

2) Leibnitz był matematykiem i filozofem, zatem niektórzy matematycy są filozofami.

Leibnitz był matematykiem i filozofem

---------------------------------------------------

Niektórzy matematycy są filozofami

Logiczny schemat wnioskowania

Formalny schemat wnioskowania to taki, w którym występują tylko stałe i zmienne logiczne.

Niezawodny schemat wnioskowania to taki, który - przy tych samych podstawieniach za zmienne w przesłankach i we wniosku - prowadzi od prawdziwych przesłanek zawsze do prawdziwego wniosku.

Logiczny schemat wnioskowania to schemat formalny i niezawodny.

Dane wnioskowanie podpada pod pewien schemat formalny wtedy i tylko wtedy, gdy można je otrzymać z tego schematu przez podstawienie w nim odpowiednich stałych za zmienne.

Wnioskowanie jest formalnie poprawne, gdy opiera się na niezawodnym schemacie wnioskowania.

Wnioskowanie nie jest formalnie poprawne, gdy nie opiera się na niezawodnym schemacie wnioskowania. Wtedy mówimy o błędzie formalnym wnioskowania.

Przykład wnioskowania obarczonego błędem formalnym.

Schemat:

Każde S jest P

-----------------------

Każde P jest S

Przykłady zastosowania tego wadliwego schematu:

Każdy kwadrat jest równobokiem

------------------------------------------

Każdy równobok jest kwadratem

Każda róża jest kwiatem

---------------------------------

Każdy kwiat jest różą

Prawo logiczne

Prawo logiczne (tautologia) jest to wyrażenie zbudowane ze stałych i zmiennych logicznych, które jest prawdziwe przy wszystkich podstawieniach (stałych za zmienne).

Prawa logiczne są ogólnymi twierdzeniami o dowolnych przedmiotach z zakresu (desygnacji) zmiennych.

Związek między schematami logicznymi a prawami logicznymi

S: Schemat logiczny:

W₁

W₂

.

.

.

W_n

-----------

W

P: Prawo logiczne: Jeśli W₁ i W₂ i … i W_n, to W

Schemat formalny S jest niezawodny ( jest schematem logicznym) wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie P jest wyrażeniem prawdziwym (prawem logicznym).

Wynikanie logiczne

Ze zdań Z₁, Z₂ … Z_n wynika logicznie zdanie Z wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki schemat logiczny, że zdania: Z₁, Z₂ … Z_n są podstawieniami przesłanek, a zdanie Z podstawieniem wniosku w tym schemacie.

Wnioskowanie dedukcyjne to takie wnioskowanie, w którym wniosek wynika logicznie z jego przesłanek.

Wnioskowanie dedukcyjne jest formalnie poprawne wtedy i tylko wtedy, gdy jego wniosek wynika logicznie z przesłanek.

Prawdziwość przesłanek wnioskowania logicznego gwarantuje prawdziwość jego wniosku. Inaczej: prawda jest własnością przenoszoną przez wnioskowanie. Możemy powiedzieć, że wnioskowanie logiczne jest wnioskowaniem z zachowaniem prawdziwości (salva veritate).

prawdziwe przesłanki przesłanki

---------------------------
----------------------- wniosek prawdziwy wniosek

Błędy logiczne

Wnioskowanie entymematyczne

- entymematyczna przesłanka wnioskowania (gr. en thymo - zatrzymać w umyśle)

Błędy we wnioskowaniu dedukcyjnym:

a) błąd formalny wnioskowania - schemat logiczny wnioskowania niepoprawny

b) błąd materialny wnioskowania - przesłanka wnioskowania jest fałszywa

c) błąd petitio principii (dosł. żądanie początku/ racji); polega, ogólnie rzecz biorąc, na przyjęciu za przesłankę wnioskowania zdania bez wystarczających do tego podstaw. Najczęściej jest to zdanie, którego wartość logiczna nie została jeszcze zbadana, ergo, które nie jest pewne.

d) błąd circulus in demnstrando; odmiana błędu petitio principii - polega na przyjęciu za przesłankę wnioskowania pewnego zdania, które de facto jest jego wnioskiem. Najczęściej błąd circulus in demnstrando - błędne koło w dowodzeniu ma postać błędnego koła pośredniego, tj. pewnej sekwencji wnioskowań; takiej, w której wniosek z ostatniego rozumowania okazuje się przesłanką pierwszego rozumowania.

e) błąd regressus ad infinitum; odmiana błędu petitio principii - polega na przyjęciu za przesłankę wnioskowania pewnego zdania, które nie jest jeszcze udowodnione. W efekcie, aby całe rozumowanie było poprawne, tj. by wniosek był prawdziwy w by wynikał logicznie z przesłanki, należy udowodnić tę przesłankę. To jednak oznacza wprowadzenie innego rozumowania, w którym udowadniana przesłanka staje się jego wnioskiem, a przesłanką tego nowego rozumowania pewne zdanie, które samo z kolei wyga uzasadnienia, i tak w nieskończoność.

f) błąd ignorantio elenchi (dosł. nieznajomość, ignorancja co do tego, co faktycznie ma być udowodnione); polega na tym, że przeprowadzone rozumowanie dowodzi czegoś innego, zdania innego niż to, które ma być udowodnione.

1

---