fiza, rozdz.4-Dynamika bryły sztywnej, 4


  1. Dynamika bryły sztywnej

W poprzednim rozdziale omówiono ruch postępowy ciała oraz niektóre aspekty dynamiki punktu materialnego. Poniżej przedstawione zostaną niektóre własności ruchu obrotowego bryły sztywnej. Bryłą sztywną nazywamy ciało, w którym nie zmieniają się wzajemne odległości punktów bryły w trakcie jej ruchu. Dynamika bryły sztywnej zajmuje się ruchem ciała z uwzględnieniem jego masy, działających na niego sił i jego zmianą orientacji w przestrzeni.

Przypomnijmy, że ruch obrotowy to taki ruch, w którym potrafimy wskazać przynajmniej chwilową oś obrotu (prosta na której leżą punkty nieruchome). W ruchu obrotowym ciała oprócz mas poszczególnych jego elementów ważne są również ich odległości od osi obrotu. Z faktem tym wiążą się podstawowe pojęcia: środek masy i środek ciężkości. Pierwszy z nich określa punkt, wokół którego jest równomiernie rozmieszczona masa bryły.

0x01 graphic

Rys. 15 Wyznaczanie środka masy i środka ciężkości dla bryły sztywnej

0x01 graphic

Środek ciężkości określa wzór:

0x01 graphic
.

Z ostatniego wzoru wynika, że jeśli gi = g = const (pole grawitacyjne jest jednorodne) to po podzieleniu licznika i mianownika przez g otrzymujemy wzór na położenie środka masy. Tak więc w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

0x01 graphic

Rys. 16 Środek masy dwóch punktów materialnych.

Rozpatrzmy teraz przykład dwóch punktów materialnych o masach M i m.

Obliczmy teraz współrzędną środka masy układu a oraz wartość b.

0x01 graphic

0x01 graphic

Dzieląc stronami powyższe równania otrzymujemy:

0x01 graphic
.

Wynika stąd, że odległości środka masy od poszczególnych mas układu są w odwrotnej proporcji do mas tych elementów.

W ruchu obrotowym definiujemy prędkość kątową i przyspieszenie kątowe jako pochodne kąta skierowanego. Kąt skierowany to wektor o wartości równej wartości kąta obrotu, jego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny kąta płaskiego a zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej.

0x01 graphic

Rys. 17 Kąt skierowany

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Moment pędu i moment siły definiujemy jako iloczyn wektorowy promienia i odpowiedniej wielkości (pędu lub siły).

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Obliczmy teraz energię kinetyczną bryły w ruchu obrotowym. Załóżmy, że bryła składa się z „n” punktów materialnych o masach mi odległych o ri od osi obrotu. Pamiętajmy też, że dla bryły sztywnej prędkości kątowe wszystkich elementów muszą być jednakowe i że prędkość liniowa w ruchu po okręgu równa jest iloczynowi prędkości kątowej i promienia.

0x01 graphic

Wielkość oznaczoną symbolem I nazywamy momentem bezwładności względem osi obrotu a jego wartość obliczamy sumując iloczyny mas i kwadratów ich odległości od osi obrotu. Dla bryły ciągłej napiszemy:

0x01 graphic
0x01 graphic
.

Wykorzystując moment bezwładności i zakładając symetryczny rozkład gęstości masy względem osi obrotu możemy zapisać wzór na moment pędu:

0x01 graphic
.

Powyżej mówiliśmy o osiowym momencie bezwładności. W fizyce spotykamy też momenty bezwładności względem płaszczyzny, punktu i tzw. momenty dewiacyjne odpowiadające za reakcje w łożyskach mocujących oś obrotu (np. „bicie” nie wyważonego koła samochodowego). Rodzaje i sposoby liczenia tych momentów bezwładności przedstawia tabelka.

moment bezwładności

odległość

Wzór I=

względem osi np. x

0x01 graphic

0x01 graphic

względem np. płaszczyzny xy

r = z

0x01 graphic

względem pn. 0

0x01 graphic

0x01 graphic

dewiacyjny np. xy

-

0x01 graphic

Tabela 2 Rodzaje i wzory do obliczenia momentów bezwładności

Dla osiowo symetrycznych brył otrzymujemy momenty bezwładności w postaci iloczynu stałej k, masy bryły m i kwadratu promienia (lub długości). Przykładowo dla krążka płaskiego lub walca 0x01 graphic
dla pręta 0x01 graphic
i dla kuli 0x01 graphic
(dla osi obrotu przechodzących przez środek masy).

Obliczając energię kinetyczną toczącego się ciała musimy wybrać układ odniesienia. Jeśli wybierzemy układ związany ze środkiem masy to energia kinetyczna będzie się składała z energii kinetycznej ruchu postępowego i energii kinetycznej ruchu obrotowego wokół osi obrotu O. Jeśli natomiast wybierzemy układ związany z chwilową osią obrotu O' to będziemy mieć tylko jeden składnik związany z energią kinetyczną ruchu obrotowego (ponieważ prędkość chwilowej osi obrotu = 0).

O: 0x01 graphic
, O': 0x01 graphic
.

Porównując wzory oraz uwzględniając związek miedzy prędkością liniową i kątową oraz mnożąc przez 2 otrzymujemy:

0x01 graphic
.

Stąd otrzymujemy twierdzenie Steinera:

0x01 graphic
.

Twierdzenie to mówi, że moment bezwładności bryły względem osi 0' jest równy sumie jej momentu bezwładności względem osi 0, równoległej i przechodzącej przez środek masy w odległości r od osi 0' oraz iloczynu masy bryły i kwadratu tej odległości.

Poniżej zostanie przedstawiony prosty przykład obliczania wzoru na moment bezwładności bez konieczności całkowania dla wybranych brył. Policzymy moment bezwładności pręta. Powinniśmy otrzymać wzór w postaci I=kml2. Podzielimy pręt o masie m i długości l na dwie części o masach m/2 i długościach l/2 (rysunek 18).

0x01 graphic

Rys. 18. Obliczanie momentu bezwładności pręta

Moment bezwładności całego pręta i jego połówek będzie miał podobną postać. Całkowity moment bezwładności będzie sumą momentów dwóch połówek liczonych dla środkowej osi (tu zastosujemy twierdzenie Steinera).

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Porównując oba wzory wyznaczamy:

0x01 graphic
.

Bardzo ważnymi są równania dynamiki definiujące siłę i moment siły:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Pierwsze z nich umożliwia podanie zasad dynamiki dla ruchu postępowego.

Pierwsza zasada dynamiki dla ruchu postępowego mówi, że jeśli na ciało (układ ciał) nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą (wypadkowa siła równa jest 0) to pęd ciała (układu ciał) jest stały. Jeśli założymy stałość masy to można powiedzieć, że ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (prędkość jest stała).

Druga zasada dynamiki dla ruchu postępowego mówi, że jeśli na ciało (układ ciał) działa niezrównoważona siła zewnętrzna (wypadkowa sił jest różna od zera) to ciało zmienia swój pęd wprost proporcjonalnie do działającej siły. Mówimy też, że zmiana pędu ciała jest równa popędowi działającej siły.

0x01 graphic

Jeśli założymy stałość masy otrzymamy:

0x01 graphic

0x01 graphic
.

Można więc sformułować tą zasadę w postaci: jeśli na ciało działa niezrównoważona siła zewnętrzna to porusza się ono z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do działającej siły a współczynnikiem proporcjonalności jest odwrotność masy.

Trzecia zasada dynamiki dla ruchu postępowego mówi, że jeśli na ciało (układ ciał) nie działają żadne siły lub wypadkowa sił zewnętrznych jest równa 0 to suma sił wewnętrznych jest równa 0. W przypadku dwóch ciał powiemy, że w układzie izolowanym jeśli ciało A działa na ciało B siłą 0x01 graphic
to ciało B działa na ciało A siłą 0x01 graphic
o tej samej wartości i tym samym kierunku lecz przeciwnym zwrocie (siły te różnią się oczywiście również punktami zaczepienia).

Ruch obrotowy opisujemy podobnie jak postępowy zastępując wielkości kinematyczne

ruch postępowy

Ruch obrotowy

masa - m

moment bezwładności - I

wektor położenia - 0x01 graphic

kąt skierowany - 0x01 graphic

prędkość liniowa - 0x01 graphic

Prędkość kątowa - 0x01 graphic

przyspieszenie liniowe - 0x01 graphic

Przyspieszenie kątowe - 0x01 graphic

pęd - 0x01 graphic

moment pędu - 0x01 graphic

siła - 0x01 graphic

moment siły - 0x01 graphic

Tabela 3 Odpowiedniki kinematyczne i dynamiczne ruchu postępowego i obrotowego

(dynamiczne) jednego odpowiednikami drugiego ruchu (tabela). Proponuję czytelnikowi sformułowanie zasad dynamiki dla ruchu obrotowego.

W mechanice ważnymi z punktu widzenia warunków konstrukcji maszyn lub budowli są warunki statyki wynikające z warunków równowagi (dla prędkości = 0). Podajemy je z punktu widzenia braku ruchu postępowego jak i obrotowego.

0x01 graphic

0x01 graphic

Najprostszym przykładem zastosowania obu tych warunków jest dźwignia jednostronna.

0x01 graphic

Rys.19 Dźwignia jednostronna

Z warunków równowagi otrzymujemy równania:

0x01 graphic

0x01 graphic

Ponieważ ostatni moment siły jest równy zero (r=0) a pierwsze dwa są przeciwne stąd:

a-lF=0,

czyli działająca siła

0x01 graphic
.

Wynika stąd wniosek, że dla odchylenia takiej belki wystarczy siła tyle razy mniejsza ile razy większe ma ona ramię od ramienia siły 0x01 graphic
.

Drugi przykład przedstawia bloczek nieruchomy o masie m i promieniu r z zawieszonymi ciężarkami o masach M1 i M2 (rysunek20).

0x01 graphic

Rys. 20 Bloczek nieruchomy

Przy rozwiązywaniu tego typu problemów postępujemy zgodnie z algorytmem:

  1. zaznaczamy wszystkie siły działające na poszczególne ciała nie zapominając o naciągach, które zaznaczamy parami w punktach styczności linki z najbliższymi ciałami (zawsze w kierunku linki),

  2. zaznaczamy obieg dodatni (znak + na rysunku),

  3. zapisujemy równania ruchu postępowego wstawiając siły ze znakiem + jeśli są zgodne z wybranym obiegiem i - gdy są przeciwne,

  4. zapisujemy równania ruchu obrotowego wstawiając momenty sił ze znakiem + jeśli są zgodne z wybranym obiegiem i - gdy są przeciwne,

  5. uzupełniamy układ równań o równanie wiążące przyspieszenia w ruchu postępowym i obrotowym oraz równania na moment bezwładności krążka i ciężary ciał,

  6. sprawdzamy liczbę niewiadomych i liczbę niezależnych równań i rozwiązujemy układ równań.

ruch postępowy - M1 : N1 - Q1 = M1 a

M2 : Q2 - N2 = M2 a

Ruch obrotowy - rN2 - rN1 = Iε

Moment bezwładności - I = 0x01 graphic
mr2

Związek między przyspieszeniami - ε = 0x01 graphic

Ciężary - Q1 = M1 g

Q2 = M2 g

Otrzymaliśmy układ 7 równań na 7 niewiadomych (N1, N2, Q1, Q2, a, I, ε), z którego możemy obliczyć np. przyspieszenie liniowe układu.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
dynamika bryly sztywnej(1)
4 Dynamika bryly sztywnej id 37 Nieznany (2)
dynamika bryły sztywnej
Dynamiki bryły sztywnej
W7-dynamika bryly sztywnej, Studia, SiMR, II ROK, III semestr, Mechanika Ogólna II, Mechanika 2, 3 k
dynamika bryły sztywnej
4wyklad-dynamika bryly sztywnej, Dynamika ruchu bryły sztywnej
12 dynamika bryły sztywnej
dynamika bryly sztywnej(1)
4 Dynamika bryly sztywnej id 37 Nieznany (2)
dynamika bryły sztywnej
12 dynamika bryły sztywnej
05 Dynamika ruchu postepowego i po okregu Ruch obrotowy bryly sztywnej
III01 Dynamika ruchu obrotowego bryly sztywnej
2?DANIE DYNAMIKI RUCHU OBROTOWEGO BRYŁY SZTYWNEJ
bezwladnosc bryly sztywnej, Transport i Logistyka (AM) 1 (semestr I), Fizyka, fiza laborki (rozwiąza

więcej podobnych podstron