DYNAMIKA BRYŁY

SZTYWNEJ

Dotychczas

zajmowaliśmy

się

najprostszym

przybliżeniem

ciała,

czyli

modelem

punktu

materialnego

. Jednak w wielu przypadkach nie można

pominąć rozmiarów ciała. Dlatego też zajmiemy się
teraz mechaniką ciał zajmujących pewną skończoną
objętość w przestrzeni, czyli mechaniką

brył

.

Jednak również w tym przypadku ograniczymy się do
najprostszego

modelu bryły sztywnej

.

Momenty masowe pierwszego

stopnia

Momentem

masowym

pierwszego

stopnia

(momentem

statycznym)

układu

punktów

materialnych względem dowolnego punktu O
nazywamy sumę iloczynów mas punktów i ich
wektorów wodzących







n

1

i

i

i

mr

S

W przypadku ciągłego układu punktów o stałej
gęstości 











V

m

dV

dm

r

r

S

gdzie dV = dxdydz jest elementem
objętości ciała



















n

1

i

i

i

z

n

1

i

i

i

y

n

1

i

i

i

x

z

m

S

;

y

m

S

;

x

m

S

Suma iloczynów mas punktów i ich odległości od
danej płaszczyzny nazywana jest

momentem

statycznym względem płaszczyzny



















n

1

i

i

i

xz

n

1

i

i

i

yz

n

1

i

i

i

xy

y

m

S

;

x

m

S

;

z

m

S

Z porównania otrzymujemy równania wiążące
składowe momentu statycznego względem punktu z
odpowiednimi momentami statycznymi względem
płaszczyzn

xy

z

xz

y

yz

x

S

S

;

S

S

;

S

S







Zawsze można znaleźć taki punkt ciała C (czyli

środek masy

ciała), którego promień r

C

pomnożony

przez masę skupioną w tym punkcie

da wartość momentu statycznego

S







n

1

i

i

m

m

C

n

1

i

i

i

m

m

r

r

S









Stąd można znaleźć położenie środka masy

m

dm

m

m

m

m

m

C

n

1

i

i

n

1

i

i

i

C



















r

S

r

r

S

r

dla dyskretnego układu punktów dla ciała

ciągłego (bryły)

m

S

m

S

z

;

m

S

m

S

y

;

m

S

m

S

x

xy

z

C

xz

y

C

yz

x

C













Stąd wynikają dwa istotne wnioski:

1. Moment statyczny względem płaszczyzny (lub

moment statyczny względem punktu będącego
środkiem masy) przechodzącej przez środek masy
jest równy zero.

2. Jeżeli jednorodne ciało posiada środek, oś lub

płaszczyznę symetrii, to środek masy będzie
znajdował się na tej płaszczyźnie, osi lub w tym
środku symetrii.

Momenty masowe drugiego

stopnia

Momentem

masowym

stopnia

drugiego

(

momentem bezwładności

) układu punktów

materialnych lub ciała względem płaszczyzny
nazywamy sumę iloczynów mas punktów i
kwadratów ich odległości od płaszczyzny



















n

1

i

2

i

i

yz

n

1

i

2

i

i

xz

n

1

i

2

i

i

xy

x

m

I

;

y

m

I

;

z

m

I

A dla układu ciągłego o stałej gęstości 































V

2

m

2

yz

V

2

m

2

xz

V

2

m

2

xy

dV

x

dm

x

I

dV

y

dm

y

I

dV

z

dm

z

I

Momentem bezwładności względem osi

układu

punktów materialnych lub ciała nazywamy sumę
iloczynów mas i ich kwadratów odległości od osi.

dV

r

dm

r

I

r

m

I

V

2

m

2

n

1

i

2

i

i

















W układzie kartezjańskim Oxyz momenty bezwładności
względem osi układu wyrazić można w następującej
postaci





































n

1

i

2

i

2

i

i

z

n

1

i

2

i

2

i

i

y

n

1

i

2

i

2

i

i

x

y

x

m

I

;

z

x

m

I

;

z

y

m

I













dV

y

x

I

;

dV

z

x

I

;

dV

z

y

I

V

2

2

z

V

2

2

y

V

2

2

x

























yz

xz

z

yz

xy

y

xy

xz

x

I

I

I

;

I

I

I

;

I

I

I













Moment bezwładności względem osi równa się sumie
momentów

bezwładności

względem

płaszczyzn

prostopadłych, których przecięciem jest ta oś

Twierdzenie Steinera

dla momentów bezwładności :

Momenty bezwładności względem płaszczyzn lub osi
nie przechodzących przez środek masy ciała można
obliczyć jako

:

1.     Dla

momentów

bezwładności

względem

płaszczyzn

2

aaC

aa

md

I

I





2.

Dla momentów bezwładności

względem osi

2

C

md

I

I





gdzie indeks C oznacza moment bezwładności
względem płaszczyzny lub osi równoległej do
rozpatrywanej

i

przechodzącej

przez

środek

ciężkości, d jest zaś odległością środka ciężkości
odpowiednio od płaszczyzny lub osi.

Definicja bryły sztywnej

Bryłą

sztywną

nazywamy

układ

punktów

materialnych

o

jednorodnej

gęstości,

których

wzajemne odległości pozostają stałe w trakcie ruchu
ciała.

Bryłą sztywną jest takie ciało, w którym odległości
między dowolnymi punktami są stałe i nie zmieniają
się pod wpływem sił zewnętrznych działających na
ciało.

Bryła

sztywna

nie

podlega

zatem

żadnym

odkształceniom pod wpływem działających sił. Wiele
ciał rzeczywistych można traktować jako bryły
sztywne, jeśli działające siły są dostatecznie małe
(zależy to od właściwości materiału, z którego
wykonane jest ciało).





n

,...,

2

,

1

j

,

i

r

ij

ij

j

i









r

r

r

gdzie r

i

oraz r

j

są wektorami wodzącymi i-tego i j-

tego punktu w obranym układzie odniesienia,
natomiast r

ij

jest stałą liczbą wyrażającą odległość

między tymi punktami

.

Warunek

powyższy

możemy

zapisać

następująco:

Rodzaje ruchów bryły sztywnej

Ruchem postępowym bryły sztywnej

nazywamy

taki ruch, w którym dowolna prosta przeprowadzona
przez to ciało przesuwa się równolegle do samej
siebie (wektory prędkości wszystkich punktów ciała
są w danej chwili jednakowe).

Bryła sztywna porusza się ruchem obrotowym

,

jeżeli wszystkie punkty ciała poruszają się po
okręgach, których środki leżą na jednej prostej.
Prostą tę nazywamy chwilową osią obrotu. Jeżeli
położenie osi obrotu nie zmienia się, to nosi ona
nazwę stałej osi obrotu.

Statyka układu sztywnego

Na każdy i-ty punkt bryły sztywnej może działać siła
zewnętrzna F

i

oraz siła wewnętrzna F

ij

pochodząca

od innego (j-tego) punktu bryły. Wypadkowa siła
działająca na każdy i-ty punkt bryły jest sumą siły
zewnętrznej

(w

ogólności

wypadkowej

sił

działających na ciało) oraz sumy sił wewnętrznych
pochodzących od wszystkich pozostałych punktów
bryły (punkt nie działa sam na siebie, czyli F

ii

= 0).

Możemy więc zapisać dla i-tego punktu bryły:











1

n

1

j

ij

i

i

w

F

F

F

Takie samo wyrażenie można zapisać dla dowolnego
innego punktu bryły. Na podstawie trzeciej zasady
dynamiki siły wzajemnego oddziaływania punktów się
równoważą:

ji

ij

F

F





Zatem całkowita siła wypadkowa działająca na całą
bryłę :

















n

1

i

1

n

1

j

ij

n

1

i

i

w

F

F

F

ale całkowita suma sił wewnętrznych się zeruje,
więc:







n

1

i

i

w

F

F

Siłą powodującą ruch ciała sztywnego może być tylko
siła zewnętrzna.

C

x

y

z

r

C

F

i

r

i

i

Niech na i-ty punkt
bryły sztywnej działa
siła

F

i

.

Układ

współrzędnych
kartezjańskich

można

przyjąć tak, aby jego
początek O był punktem
obrotu bryły. Siła F

i

działająca na i-ty punkt
wywołuje

względem

punktu O moment siły
równy:

O

i

M

i

i

O

i

F

r

M





W ogólnym przypadku na bryłę może działać więcej
sił zewnętrznych. Wtedy należy rozważyć wypadkową
siłę zewnętrzną oraz wypadkowy moment względem
punktu obrotu O:













n

1

i

O
i

n

1

i

i

M

M

F

F

Równoważnymi układami sił

nazywamy takie

układy sił zewnętrznych, które mają równe
wypadkowe siły i momenty sił względem punktu
obrotu O .

Załóżmy, że istnieją dwa układy sił równoważne
względem punktu O (początku układu współrzędnych
z poniższego rysunku) i wprowadźmy dodatkowo
dowolny punkt P. Wtedy:

OP

r

r





i

P

i

O

x

y

z

P

i

F

i

O P

r

i

r

i

P

Moment sił względem
punktu P będzie więc
miał postać:

























































n

1

i

i

n

1

i

i

i

n

1

i

i

i

n

1

i

i

P

i

n

1

i

P

i

P

F

OP

F

r

F

OP

r

F

r

M

M

F

OP

M

M







O

P

Ponieważ założyliśmy występowanie dwóch układów
równoważnych względem punktu O to, z równości siły
wypadkowej i momentu względem punktu O dla tych
dwóch układów wynika, że moment siły względem
dowolnego innego punktu dla tych dwóch układów
będzie taki sam. Oznacza to, że

układy równoważne

sił są układami równoważnymi dla wszystkich
punktów przestrzeni

.

Ponadto, jeśli wypadkowa siła zewnętrzna F = 0, to
momenty sił są takie same względem wszystkich
punktów ponieważ:

O

p

M

M 

Wnioski:
  do danego układu sił można dodawać siły o

wypadkowej równej zero i zerowym momencie bez
zmiany ruchu układu,

 można przesuwać punkty zaczepienia sił wzdłuż

kierunku ich działania nie zmieniając ruchu ciała.

Parą sił

nazywamy układ dwóch sił równoległych,

równych

co

do

wartości

lecz

przeciwnie

skierowanych i nie leżących na jednej prostej. Z
definicji pary sił wynika, że F = 0, a więc moment
pary sił jest jednakowy dla wszystkich punktów bryły.
Obliczmy moment pary sił względem punktu
zaczepienia O jednej z sił tworzących parę.

F

- F

O

r

r

 

F

r

F

-

0

F

r

M













Wartość tego momentu pary
wynosi:

F

r

M





gdzie r



jest rzutem wektora r na

kierunek prostopadły do siły F i
nazywa się ramieniem działania
pary sił.

Moment pary sił nie zależy zatem od jej położenia

(przesunięcia), jak również od obrotu w płaszczyźnie
działania pary. Jeśli ponadto uwzględnimy, że para sił
nie

wprowadza

siły

wypadkowej,

możemy

sformułować

twierdzenie o redukcji układu sił

:

Dowolny układ sił działający na ciało można

sprowadzić do jednej siły równej sumie sil
zewnętrznych działających na ciało i zaczepionej
na linii działania tej sumy oraz jednej pary sił o
momencie równym momentowi całkowitemu sił
zewnętrznych działających na ciało względem
punktu zaczepienia siły wypadkowej.

Z przeprowadzonych rozważań wynika, że bryła

sztywna pozostanie w równowadze tylko wtedy, gdy
spełnione będą

warunki równowagi bryły sztywnej

czyli równania:

0

i

0





M

F

Ruch bryły sztywnej

Równanie ruchu postępowego bryły sztywnej

Rozważmy ruch postępowy bryły sztywnej. W takim
ruchu prędkości wszystkich punktów bryły, a zatem i
środka jej masy, są takie same, czyli dla każdego i oraz
j:

j

i

v

v 

Oznaczając przez r

C

promień wodzący środka masy, a

przez v

C

jego prędkość liniową dostajemy:

C

i

v

v 

Pamiętamy, że promień środka masy jest związany z
momentem statycznym bryły S:

m

m

m

n

1

i

i

i

C









r

S

r







n

1

i

C

i

C

m

m

r

r



Różniczkując to wyrażenie dwukrotnie po czasie
otrzymamy:

F

p

p

p

a

r



















dt

d

dt

d

dt

d

m

dt

d

m

n

1

i

i

n

1

i

i

C

2

C

2

Otrzymaliśmy równanie ruchu postępowego bryły
sztywnej. Wynika z niego, że wszystkie punkty bryły
poruszają się tak, jak środek jej masy, a jego ruch
można z kolei znaleźć znając wypadkową siłę
działającą na bryłę oraz masę bryły.

Pęd w ruchu postępowym bryły sztywnej

Pęd bryły jest równy sumie pędów poszczególnych jej
punktów, czyli:

C

C

n

1

i

i

C

n

1

i

C

i

n

1

i

i

i

n

1

i

i

m

m

m

m

p

v

v

v

v

p

p





























Pęd bryły sztywnej w ruchu postępowym jest
więc równy pędowi całkowitej masy bryły
skupionej w jej środku masy.

Moment pędu w ruchu postępowym bryły
sztywnej

Moment pędu całej bryły jest sumą momentów pędów
poszczególnych jej punktów, czyli:









C

n

1

i

i

i

n

1

i

C

i

i

n

1

i

i

i

i

n

1

i

i

m

m

m

v

r

v

r

v

r

L

L































Pierwszy czynnik iloczynu jest momentem statycznym
pierwszego stopnia S, a zatem:

C

C

C

C

C

C

C

m

m

L

p

r

v

r

v

r

L















Moment pędu bryły sztywnej w ruchu postępowym
jest zatem równy momentowi pędu masy punktu
materialnego umieszczonego w środku masy tej bryły.

Dla

dowolnego

punktu,

względem

którego

obliczamy moment pędu w środku masy, moment
pędu bryły sztywnej w ruchu postępowym
względem środka masy jest równy zeru. Ponieważ
druga zasada dynamiki dla momentu pędu ma
postać
to prawdziwy jest następujący warunek ruchu
postępowego bryły sztywnej:

wypadkowy moment

sił

względem

środka

masy

w

ruchu

postępowym bryły sztywnej jest równy zeru.

M

t

d

d



L

Energia kinetyczna w ruchu postępowym bryły
sztywnej

Energia kinetyczna bryły sztywnej jest sumą energii
kinetycznych wszystkich punktów bryły:

2

mv

m

2

v

2

v

m

2

v

m

E

E

2
C

n

1

i

1

2

C

n

1

i

2

C

i

n

1

i

2

i

i

n

1

i

i

k

k



























Energia kinetyczna ruchu postępowego bryły
sztywnej jest zatem równa energii kinetycznej
masy bryły skupionej w środku masy.

Równanie ruchu obrotowego bryły sztywnej

O

r

i

v

i

i

o ś o b r o tu

Rozważmy

ruch

względem

stałej

osi

przechodzącej

przez

środek

układu

inercjalnego o początku
O.

Prędkość

liniowa

punktu i wynosi v

i

oraz

jest spełnione:

i

i

i

r

ω

v





Ponieważ prędkość kątowa jest stała dla wszystkich
punktów bryły (ruch punktów sztywno związanych
względem stałej osi) to:

i

i

r

ω

v





Pęd bryły sztywnej w ruchu obrotowym

Pęd bryły sztywnej w ruchu obrotowym jest
(podobnie jak w ruchu postępowym) równy sumie
pędów poszczególnych punktów bryły:









C

C

C

C

n

1

i

i

i

n

1

i

i

i

i

n

1

i

i

i

m

m

m

m

m

m

p

v

r

ω

r

ω

S

ω

r

ω

r

ω

v

p







































Stąd wynika wniosek, że, podobnie jak w ruchu
postępowym, pęd ruchu obrotowego bryły sztywnej
jest równoważny pędowi masy bryły skupionej w jej
środku masy C. Jeżeli oś obrotu przechodzi przez
środek masy bryły, to pęd w układzie związanym ze
środkiem masy jest równy zero ponieważ moment
statyczny S = 0. Można zatem sformułować
następujące twierdzenie:

Suma pędów wszystkich

punktów bryły sztywnej w ruchu obrotowym
wokół osi przechodzącej przez środek masy bryły
jest równa zeru.

Moment

pędu

bryły

sztywnej

w

ruchu

obrotowym

Moment pędu bryły sztywnej w ruchu obrotowym
jest

oczywiście

sumą

momentów

pędu

poszczególnych punktów bryły względem początku
przyjętego układu współrzędnych:



































































n

1

i

i

i

i

i

n

1

i

i

1

i

i

n

1

i

i

i

i

n

1

i

i

i

n

1

i

i

m

m

m

r

ω

r

r

ω

r

v

r

p

r

L

L

















i

i

i

m

r

ω

r

L

Jest to ogólna postać momentu pędu względem punktu
O dla ruchu obrotowego bryły sztywnej względem osi
przechodzącej przez punkt O.

Dla każdego punktu materialnego, a więc i każdego
punktu bryły, spełniona jest zależność wynikająca z
drugiej zasady dynamiki:

M

L



t

d

d

i

i

t

d

d

M

L





ale całkowity moment sił względem punktu O
działający na bryłę jest równy sumie momentów sił
względem tego punktu działających na każdy punkt
bryły, czyli:

t

d

d

dt

d

t

d

d

n

1

i

i

n

1

i

i

n

1

i

i

L

L

L

M

M





















Zatem dla dowolnego ruchu obrotowego druga zasada
dynamiki przyjmuje następującą postać ogólną:

t

d

dL

M 

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły
sztywnej

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej
jest

oczywiście

sumą

energii

kinetycznych

poszczególnych punktów bryły:









































n

1

i

i

i

i

n

1

i

2

i

i

i

n

1

i

2

i

i

n

1

i

i

k

k

2

m

2

m

2

v

m

E

E

r

ω

r

ω

r

ω

Wykorzystując tożsamość wektorową:









C

B

A

C

B

A











i

i

;

;

r

ω

C

r

B

ω

A









otrzymujemy ogólny wzór na energię kinetyczną
bryły sztywnej:





















2

2

m

2

m

2

2

m

E

n

1

i

i

n

1

i

i

i

i

n

1

i

i

i

i

n

1

i

i

i

i

k

ω

L

L

ω

v

r

ω

r

ω

r

ω

r

ω

r

ω





































Każdy ruch bryły sztywnej można rozłożyć na ruch
postępowy i obrotowy względem stałej osi. Należy
wtedy jednocześnie wykorzystać prawa rządzące
oboma rodzajami ruchów.

Moment bezwładności bryły sztywnej wykonującej
ruch obrotowy względem

sztywnej osi

ma moment

pędu względem dowolnego punktu osi obrotu o
niezerowych składowych w kierunku wszystkich osi
układu współrzędnych. Inaczej mówiąc,

kierunek

wektora momentu pędu nie pokrywa się z kierunkiem
wektora prędkości kątowej

.

Szczególna postać II zasady

dynamiki dla ruchu obrotowego

względem osi symetrii

Druga zasada dynamiki w przypadku momentów
sił ma postać

M

L



t

d

d

Po podstawieniu momentu pędu dla bryły w ruchu
obrotowym względem sztywnej osi otrzymujemy:









M

k

j

i











z

yz

xz

I

I

I

dt

d

M

k

k

j

j

i

i































































t

d

d

t

d

d

I

t

d

d

dt

d

I

t

d

d

t

d

d

I

z

yz

xz

s

s

s

,

,

k

k

j

i

j

j

i

i

s

s





















cos

sin

sin

cos

Łatwo zauważyć,
że:

Na tej
podstawie

0

t

d

d

t

d

d

t

d

d

sin

t

d

d

cos

t

d

d

dt

d

dt

d

cos

t

d

d

sin

t

d

d

s

s

s

s









































k

i

j

i

j

j

j

i

i

Wstawiając te wyrażenia do wzoru na pochodną
momentu pędu bryły

M

k

i

j

j

i























z

2

yz

yz

2

xz

xz

I

I

I

I

I



 



M

k

j

i























z

xz

2

yz

xz

yz

2

I

I

I

I

I

k

j

i

M

z

y

x

M

M

M







Powyższa równość będzie spełniona tylko
wtedy, gdy:





z

z

xz

yz

2

y

xz

yz

2

x

I

M

,

I

I

M

,

I

I

M























Zauważmy, że nawet dla  = 0 (ruch obrotowy
jednostajny) występują niezerowe momenty sił
względem osi Ox i Oy wynikające z niezerowych
momentów dewiacji ciała. Jeżeli oś obrotu jest

swobodna

, co oznacza możliwość zmiany jej

kierunku, to momenty sił M

x

i M

y

doprowadzą do

przyjęcia takiego ułożenia osi, w którym momenty
dewiacyjne są równe zero. W takiej sytuacji moment
pędu ma tylko składową zgodną z osią obrotu, a więc
i z kierunkiem prędkości kątowej, z czego wynika
wniosek

W trakcie ruchu obrotowego bryły sztywnej
względem osi swobodnej kierunki momentu pędu
bryły i prędkości kątowej są zgodne.

W innym

wypadku zasada ta nie jest spełniona.

Oś swobodna jest osią symetrii ciała;

osie symetrii

nazywamy często głównymi osiami bezwładności
ciała. Obrót ciała względem jednej z głównej osi
bezwładności jest „trwały”

Dla wszystkich takich ruchów moment pędu bryły
względem dowolnego punktu osi obrotu ma postać:

ω

L I



czyli

druga

zasada

dynamiki

dla

ruchu

obrotowego bryły sztywnej

w takich szczególnych

przypadkach przyjmuje postać:

M

ε

M

ω





I

t

d

d

I

gdzie M jest składową momentu siły skierowaną
zgodnie z osią obrotu bryły

Energia kinetyczna w takim ruchu wynosi:

2

I

L

2

1

2

1

E

2

k











ω

L

a pęd jest oczywiście równy pędowi środka masy
bryły. Jeżeli oś obrotu przechodzi przez środek masy
(będzie osią symetrii), to:

0



p