Dynamika ruchu bryły sztywnej

Bryła sztywna - ciało, którego masa jest rozłożona w sposób ciągły.

Możemy ją traktować jako zbiór punktów o nieskończenie małych masach elementarnych dm (rys.)

Dlatego wyniki otrzymane poprzednio dla zbioru punktów pozostają słuszne dla bryły sztywnej. Modyfikacja polega jedynie na zastąpieniu sumowania przez całkowanie.

Tak więc, dla bryły sztywnej obowiązują równania, będące odpowiednikami II zasady dynamiki Newtona:

- dla ruchu postępowego

- dla ruchu obrotowego

przy czym moment bezwładności wyraża się wzorem

Zwrócić należy uwagę, że dla ruchu postępowego wyżej zapisane równanie odnosi się do środka masy ciała sztywnego i opisuje jego ruch.

Moment pędu bryły sztywnej

Dla punktu materialnego, który wykonuje ruch obrotowy - często posługujemy się wielkością, zwaną momentem pędu.

Moment pędu
względem punktu 0 jest to wektor, zdefiniowany za pomocą wzoru

(def.)

gdzie:
jest pędem ciała punktowego, zaś
jest wektorem odległości punktu A od punktu 0.

Dla elementu dm ciała sztywnego, różniczkowy moment pędu wynosi

skąd wynika wzór na moment pędu bryły sztywnej

- * -

Uwzględniając ten ostatni wzór w zapisie II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, możemy ją zapisać

czyli

Jest to postać zasady dynamiki dla ruchu obrotowego, analogiczna do zapisu dla ruchu postępowego

twierdzenie Steinera:

Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi obrotu, przechodzącej przez punkt A obliczamy ze wzoru definicyjnego

gdzie: wektor
wyznacza odległość elementu dm od osi obrotu ( w płaszczyźnie prostopadłej do osi).

Jeśli przez S oznaczymy położenie środka masy i wprowadzimy oś obrotu równoległą do poprzedniej, ale przechodzącą przez S , to zachodzi relacja (p. rys.)

Zatem

Ale:

- jest momentem bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy,

- jest masą całkowitą ciała,

- na podstawie definicji środka masy.

Ostatecznie otrzymuje się wzór

który nosi nazwę twierdzenia Steinera:

moment bezwładności I_A względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności I_S względem równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy, oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami.

dm

0

A

A

S

dm

A

S

---