Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej - zadania

1. Cztery jednakowe, punktowe ciała o masie m każde, zostały połączone nieważkimi prętami tworząc kwadrat o boku a. Oblicz moment bezwładności tak utworzonej bryły względem osi przechodzącej przez:

a) środki przeciwległych boków kwadratu,

b) jeden z boków kwadratu,

c) przekątna kwadratu,

d) prostopadłej do płaszczyzny kwadratu, przechodzącej przez środek kwadratu,

e) prostopadłej do płaszczyzny kwadratu, przechodzącej przez wierzchołek kwadratu.

f) prostopadłej do płaszczyzny kwadratu, przechodzącej przez środek jednego z boków kwadratu.

Które z podpunktów można skojarzyć ze sobą, aby licząc moment bezwładności skorzystać z twierdzenia Steinera?

2. W jakim stosunku będą momenty bezwładności dwóch kul wykonanych z tego samego materiału względem osi przechodzących przez ich środki, jeżeli objętości kul są w stosunku 1:8?

3. Oblicz energię ruchu kuli (walca, rury) o masie 0,2 [kg], toczącej się bez poślizgu po poziomym torze z szybkością 5 [m/s].

4. Ciało o momencie bezwładności I=3 [kgm²] wiruje z momentem pędu L=12 [kgm²/s]. Oblicz energię kinetyczną ruchu obrotowego ciała.

5. Wylicz, z jakim przyspieszeniem kątowym obracał się będzie bloczek (walec) o masie m=0.5 [kg] i promieniu R=10 [cm] zawieszony u sufitu, jeżeli do końca nici nawiniętej na bloczek przyłożono pionowo w dół siłę F= 2 [N]. Jaką wartość ma siła naprężająca nitkę?

6. Jakie byłoby przyspieszenie kątowe bloczka w poprzednim zadaniu, gdyby do końca nitki przyczepić ciało o masie m₁ = 0,2 [kg] (rys.). Oblicz wartość naprężenia w nitce oraz przyspieszenia liniowe masy m₁. Jaką wartość będzie miała prędkość liniowa ciała m₁ oraz prędkość kątowa bloczka w chwili, gdy ciało m₁ dotknie podłoża obniżywszy się o 2,4 [m]?

7. Przez bloczek zawieszony na statywie, o promieniu R i momencie bezwładności I₀ przewieszono nić, na końcach której umocowane są dwie masy m₁ i m₂> m₁. Znajdź przyspieszenie kątowe bloczka, przyspieszenie z jakim poruszać się będą masy oraz siłę naciągu w nici.

8. Zapisz równania, które pozwolą oblicz wartości przyspieszeń liniowych układu dwóch mas: m₁ i m₂ połączonych z bloczkiem o momencie bezwładności I₀ nićmi nawiniętymi na części walcowe bloczka o promieniach odpowiednio: R₁ i R₂< R₁, wiedząc, że współczynnik tarcia między masą m₂ a podłożem wynosi μ.

9. Z równi pochyłej staczają się bez poślizgu jednorodny walec i cienko­ścienna rura o tych samych masach i jednakowych promieniach. Wykonaj odpowiednie obliczenia, które pozwolą odpowiedzieć na poniższe pytania:

1. Która bryła stacza się z większym przyspieszeniem liniowym?

2. Które z ciał szybciej znajdzie się u podnóża równi?

3. Które z nich uzyska większą prędkość liniową środka masy u dołu równi?

10. Jednorodny pręt o długości l, zawieszono obrotowo za jeden z końców. Następnie odchylono pręt o kąt 90⁰ od pionu (położenia równowagi) i puszczono. Jaką wartość ma prędkość liniowa końca pręta w chwili, gdy będzie mijał położenie równowagi? *) Rozwiąż to zadanie, w przypadku, gdy pręt odchylimy od pionu o kąt α <90⁰?

11*. Walec o masie m i promieniu R leży na gładkiej poziomej płaszczyźnie dotykając swoją płaszczyzną boczną o stopień o wysokości h<R. Jaką wartość musi mieć poziomo skierowana siła przyłożona w środku masy walca, aby walec mógł się wtoczyć na stopień.

12*. Jaką wartość musi mieć współczynnik tarcia między klockiem, a podłożem, aby działając dostatecznie dużą siłą F (rys) można było przewrócić klocek o wysokości 20 [cm] i szerokości 12 [cm]?

13. W jakim celu w ogonie helikoptera jest umieszczone dodatkowe śmigiełko, obracające się w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny wirowania głównych śmigieł?

14. Na brzegu swobodnie wirującej w płaszczyźnie poziomej tarczy o masie M=20 [kg] i promieniu R=2 [m], siedzi małpa o masie m=10 [kg]. Tarczę potraktuj jako walec, a małpkę jako p-kt materialny. Układ wiruje z prędkością kątową ω₁ = π [rad/s]. Z jaką prędkością kątową będzie wirował układ, jeżeli małpka przejdzie na środek tarczy? O ile procent (wzrośnie lub zmaleje) energia kinetyczna ruchu obrotowego układu w stosunku do energii, z jaką początkowo wirował układ i dlaczego?.

15**. Na szpulę, której mniejszy promień wynosi 2 [cm], a większy 4 [cm], nawinięto nitkę. Pod jakim kątem do poziomu trzeba ciągnąć nitkę, aby przesunąć szpulkę nie powodując jej ruchu obrotowego? Jaki ruch wykaże szpulka, jeżeli siła będzie przyłożona pod kątem mniejszym od obliczonego, a jaki ruch, gdy siłę przyłożymy pod kątem większym od obliczonego?

1	ma^2, 2ma^2, ma^2, 2ma^2, 3ma^2,	4	24 [J]	7	ε=(m2-m1)gR/(I0+ m2R^2+m1R^2) a=εR N1=m1(g + εR) N2=m2(g - εR)	10	(3gl)^1/2 (3gl(1-cosα))^1/2	13
2	1:32	5	80 [rad/s^2=s^-2] 5 [N]	8		11	F>Q/(R-h)(2Rh-h^2)^1/2	14	2π [rad/s], 100%
3	3,5 J	6	44 [rad/s^2=s^-2] 4,4 [m/s^2] 1,12 N 4,6 m/s 46,2 [rad/s]	9	awalca/arury = 4/3 twalca/trury = 0,87 vwalca/vrury = 1,15	12	μs>0,3	15	60^0

d

d

b

b

a

a

m

m

m

c

c

m

---