Politechnika Gdańska Rok akademicki 1999/2000

Wydział Budownictwa Lądowego

LABORATORIUM Z MECHANIKI BUDOWLI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Ćwiczenie nr 12

Temat: Skręcanie swobodne pręta o przekroju

pierścieniowym zamkniętym i otwartym

Aleksander Semczuk

Bartłomiej Rysak

Michał Rzodkiewicz

Skręcaniem nazywamy przypadek, gdy w przekroju poprzecznym występuje tylko moment skręcający. Skręcanie swobodne (inaczej czyste, lub skręcanie Saint Venanta), charakteryzuje się istnieniem tylko naprężeń stycznych w przekroju.

Doświadczenie 1: Skręcanie pręta o przekroju pierścieniowym zamkniętymi

W doświadczeniu, na początku obciążono pręt momentem skręcającym M_o = Pr_o poprzez przyłożenie siły P = 1 kg na ramieniu początkowym r_o. Następnie dokonano odczytów początkowych czujników zegarowych, po czym pręt obciążono ponownie momentem skręcającym M₁ = Pr₁ poprzez przyłożenie siły P = 1 kg na ramieniu r₁.

Obliczenia:

P = 1 kg = 9,80665N ≈ 9,81 N

1. r_o = 0,20 m

M_S0 = 0,20 ⋅ 9,81 = 1,962 Nm

2. r₁ = 0,40 m

M_S1 = 0,40 ⋅ 9,81 = 3,924 Nm

3. r₂ = 0,50 m

M_S2 = 0,50 ⋅ 9,81 = 4,905 Nm

4. r₃ = 0,60 m

M_S3 = 0,60 ⋅ 9,81 = 5,886 Nm

5. r₄ = 0,70 m

M_S4 = 0,70 ⋅ 9,81 = 6,867 Nm

6) r₅ = 0,80 m

M_S5 = 0,80 ⋅ 9,81 = 7,848 Nm

Przyrost momentów skręcających:

Kąty skręcenia (lewe):

Kąty skręcenia (prawe):

Obliczenia teoretyczne:

Wzór ogólny:

Wzór dla przekrojów zamkniętych:

A_s

δ

38 mm

Dane:

G = 35000 MPa = 35 ⋅ 10⁹ Pa = 35 ⋅ 10⁹ Pa

ΔM = 0,981 Nm

A_s = Π ⋅ R² = 0,00113354 m²

σ = 1 mm = 0,1 cm = 0,001 m

R = 19 mm = 1,9 cm = 0,019 m

Porównanie wyników z doświadczenia z obliczeniami teoretycznymi:

Błędy lewych odczytów:

A = (Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄ + Q₅ + Q₆) / 6 = (1,08 + 1,02 +1,01 + 0,95 + 0,92 + 0,88) / 6 = 0,9767 [mm]

Błędy bezwzględne poszczególnych pomiarów:

ΔQ₁ = |A - Q₁| = 0,1033

ΔQ₂ = |A - Q₁| = 0,0433

ΔQ₃ = |A - Q₁| = 0,0033

ΔQ₄ = |A - Q₁| = 0,0266

ΔQ₅ = |A - Q₁| = 0,0566

ΔQ₆ = |A - Q₁| = 0,0966

ΔQ = 0,0659

Błędy prawych odczytów:

A = (Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄ + Q₅ + Q₆) / 6 = (0,06 + 0,05 +0,04 + 0,03 + 0,02 + 0,00) / 6 = 0,0333 [mm]

Błędy bezwzględne poszczególnych pomiarów:

ΔQ₁ = |A - Q₁| = 0,0266

ΔQ₂ = |A - Q₁| = 0,0166

ΔQ₃ = |A - Q₁| = 0,0066

ΔQ₄ = |A - Q₁| = 0,0033

ΔQ₅ = |A - Q₁| = 0,0133

ΔQ₆ = |A - Q₁| = 0,0333

ΔQ = 0,0997

Kąt skręcania ϕ w punkcie - wartość doświadczalna:

L = 5 ⋅ 10^-4 rad

P = 1,2 ⋅ 10^-4 rad

Kąt skręcania ϕ w punkcie - wartość teoretyczna:

L = 2,60 ⋅ 10^-4 rad

P = 0,781 ⋅ 10^-4 rad

Błędy pomiaru:

ΔL = 1,400 ⋅ 10^-4 rad

ΔP = 0,419 ⋅ 10^-4 rad

Doświadczenie 2: Skręcanie pręta o przekroju pierścieniowym otwartym

W doświadczeniu, na początku obciążono pręt momentem skręcającym M_o = Pr_o poprzez przyłożenie siły P = 1 kg na ramieniu początkowym r_o. Następnie dokonano odczytów początkowych czujników zegarowych, po czym pręt obciążono ponownie momentem skręcającym M₁ = Pr₁ poprzez przyłożenie siły P = 1 kg na ramieniu r₁.

Obliczenia:

P = 1 kg = 9,80665N ≈ 9,81 N

1. r_o = 0,13 m

M_S0 = 0,13 ⋅ 9,81 = 1,275 Nm

2. r₁ = 0,15 m

M_S1 = 0,15 ⋅ 9,81 = 1,471 Nm

3. r₂ = 0,17 m

M_S2 = 0,17 ⋅ 9,81 = 1,667 Nm

4. r₃ = 0,20 m

M_S3 = 0,20 ⋅ 9,81 = 1,962 Nm

5. r₄ = 0,23 m

M_S4 = 0,23 ⋅ 9,81 = 2,256 Nm

6) r₅ = 0,26 m

M_S5 = 0,26 ⋅ 9,81 = 2,551 Nm

Przyrost momentów skręcających:

Kąty skręcania (lewe):

Kąty skręcania (prawe):

Obliczenia teoretyczne:

Wzór ogólny:

w którym:

Dane:

G = 35 ⋅ 10⁹ N/m²

R = 0,019 m

δ = 0,001 m

dla l₁ = 0,1 m

dla l₂ = 0,5 m

Porównanie wyników doświadczenie z obliczeniami teoretycznymi:

Błędy lewych odczytów:

A = (Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄ + Q₅ + Q₆) / 6 = (10,11 + 10,08 +9,94 + 9,91 + 9,91 + 9,91) / 6 = 9,9767 [mm]

Błędy bezwzględne poszczególnych pomiarów:

ΔQ₁ = |A - Q₁| = 0,1333

ΔQ₂ = |A - Q₁| = 0,1033

ΔQ₃ = |A - Q₁| = 0,0366

ΔQ₄ = |A - Q₁| = 0,0666

ΔQ₅ = |A - Q₁| = 0,0666

ΔQ₆ = |A - Q₁| = 0,0666

ΔQ = 0,0788

Błędy prawych odczytów:

A = (Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄ + Q₅ + Q₆) / 6 = (3,07 + 2,94 + 2,24 + 1,71 + 0,91 + 0,21) / 6 = 1,8467 [mm]

Błędy bezwzględne poszczególnych pomiarów:

ΔQ₁ = |A - Q₁| = 1,2233

ΔQ₂ = |A - Q₁| = 1,0933

ΔQ₃ = |A - Q₁| = 0,3933

ΔQ₄ = |A - Q₁| = 0,1366

ΔQ₅ = |A - Q₁| = 0,9366

ΔQ₆ = |A - Q₁| = 1,6366

ΔQ = 0,9038

Kąt skręcania ϕ w punkcie - wartość doświadczalna:

L = 4 ⋅ 10^-4 rad

P = 5,72 ⋅ 10^-3 rad

Kąt skręcania ϕ w punkcie - wartość teoretyczna:

L = 0,06692 rad

P = 0,01338 rad

Błędy pomiaru:

ΔL = 665,2 ⋅ 10^-4 rad

ΔP = 128,08 ⋅ 10^-4 rad

Wyniki badań i obliczonych teoretycznie kątów skręcenia nie pokrywają się w pełni. Przyczyną tego na pewno jest niedokładność przeprowadzonych odczytów , co wynika między innymi z wadliwego sposobu działania zegarów.

Na podstawie wyników obliczeń teoretycznych widać , że kąt skręcenia w przekrojach otwartych jest znacznie większy od kąta skręcenia w przekrojach zamkniętych , pomimo tego , iż momenty skręcające w przypadku drugim były dużo większe ( ramię i siła większe).

1

8

---