Iloraz różnicowy

Jeżeli funkcja f jest określona w przedziale (a, b) oraz x₀ i x₁ należą do tego przedziału przy czym x₀  x₁ to różnicę x₁ - x₀ nazywamy przyrostem h argumentu od x₀ do x₁, a f(x₁) - f(x₀) przyrostem wartości funkcji f odpowiadającej przyrostowi argumentu.

Ilorazem różnicowym funkcji f odpowiadającej przyrostowi argumentu h=x₁-x₀ (przy czym x₀  x₁ oraz  x₁, x₀ należą do przedziału (a, b)) jest iloraz:

Pochodna funkcji

Jeżeli f jest określona w przedziale (a, b) i x₀ należy do tego przedziału oraz istnieje skończona granica ilorazu różnicowego przy h dążącym do 0, to wtedy tę granicę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ i oznaczamy ją f '(x₀).

Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀, jeżeli ma pochodną w tym punkcje.

Pochodne jednostronne funkcji:

Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę jednostronną w punkcie x₀ , to granicę tę nazywamy pochodną jednostronną (prawostronną lub lewostronną) funkcji f w punkcie x₀ i oznaczamy odpowiednio symbolami:

,

Pochodna f '(x₀) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są sobie równe.

Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie:

Pochodna f '(x₀) jest równa tangensowi kąta , jaki tworzy z osią OX styczną do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x₀. Równanie tej stycznej jest postaci

y - y₀ = f '(x₀)(x - x₀), gdzie y₀ = f(x₀).

Ekstremum lokalne funkcji

Maksimum lokalne:

Funkcja f ma w punkcie x₀
D _f maksimum lokalne równe f(x₀) gdy istnieje takie otoczenie U punktu x₀ , że dla każdego x
U
D _f i x
x₀ jest spełniona nierówność f(x)< f(x₀).

Maksimum lokalne wyznaczamy korzystając z różniczkowego kryterium istnienia ekstremum lokalnego funkcji.

Minimum lokalne:

Funkcja f ma w punkcie x₀
D_f minimum lokalne równe f(x₀) gdy istnieje takie otoczenie U punktu x₀ , że dla każdego x
U
D_f i x
x₀ jest spełniona nierówność f(x)> f(x₀).

Minimum lokalne wyznaczamy korzystając z różniczkowego kryterium istnienia ekstremum lokalnego funkcji.

===================================

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.

Jeżeli funkcja f ma w punkcie x₀
D_f ekstremum, to w tym punkcie pochodna f'(x₀) =0 lub pochodna f'(x₀) nie istnieje.

Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji

(zmiana znaku pochodnej w pobliżu x₀)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x₀
D_f i ma pochodną w pewnym sąsiedztwie S(x₀;δ) przy czym:

f'(x)>0 dla x
(x₀-δ; x₀) i f'(x)<0 dla x
(x₀;x₀+δ)

[ f'(x)<0 dla x
(x₀-δ; x₀) i f'(x)>0 dla x
(x₀;x₀+δ) ]

to funkcja ma w punkcie x₀ maksimum (minimum) lokalne.

==========================================

Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji

(ale tylko dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych).

Załóżmy, że funkcja f jest

-n-krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu U ⊂ D _f punktu x₀,

-jej n-ta pochodna jest ciągła w punkcie w tym otoczeniu oraz

-wszystkie pochodne niższych rzędów od n są równe 0 w tym punkcie

(f^(k)(x₀) = 0, k=1, ..., n-1) a n-ta pochodna jest pierwszą różną od zera w tym punkcie (f⁽ⁿ⁾(x₀) ≠ 0) to :

- jeżeli n jest liczbą nieparzystą to funkcja nie ma ekstremum w punkcie x₀,

- jeżeli n jest liczbą parzystą f⁽ⁿ⁾(x₀)>0 to funkcja ma minimum w punkcie x₀

- jeżeli n jest liczbą parzystą f⁽ⁿ⁾(x₀)<0 to funkcja ma maksimum w punkcie x₀.

O ile istnieje to maksimum czy też minimum (lokalne) to wynosi ono f(x₀).

Ekstremum globalne (absolutne) funkcji

Funkcja y= f(x) ma w punkcie x₀
D _f minimum (maksimum) globalne, jeżeli dla każdego x
D _f spełniona jest nierówność:

f (x) ≥ f (x₀) [ f(x) ≤ f(x₀) ]

Styczna i asymptota wykresu funkcji

Równanie stycznej do wykresu funkcji f:

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀ oraz f(x₀)=y₀ to prostą: y - y₀= f'(x₀)(x-x₀)

nazywamy styczną do wykresu funkcji f w punkcie P₀=(x₀;y₀).

f'(x₀) jest współczynnikiem kierunkowym prostej - stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P₀=(x₀;y₀).

Asymptota pionowa:

Niech funkcja f jest określona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x₀.

Prosta o równaniu x=x₀ jest asymptotą lewostronną wykresu funkcji f, jeśli

lim f(x)=∞ lub lim f (x)= -∞

^x→x₀^{- x→x}₀^-

Niech funkcja f jest określona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu x₀.

Prosta o równaniu x=x₀ jest asymptotą prawostronną wykresu funkcji f, jeśli

lim f(x)=∞ lub lim f (x)= -∞

^x→x₀^{+ x→x}₀⁺

Niech funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu x₀.

Prosta o równaniu x=x₀ jest asymptotą pionową (poziomą) wykresu funkcji f, jeśli jest jednocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną tego wykresu.

Asymptota ukośna:

Prosta o równaniu y = a x + b (a, b
R) jest asymptotą ukośną prawostronną (lewostronną) wykresu funkcji y = f(x), jeżeli

lim [f(x) - (a x + b)]=0 lub ( lim [f(x) - (a x + b)]=0)

^{x→+∞ x→-∞}

Podobnie przy x dążącym do minus nieskończoności

Asymptota pozioma (szczególny przypadek asymptoty ukośnej):

Prosta y= b jest asymptotą poziomą lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji f, jeśli:

lim f(x)= b ( lim f(x)= b) gdzie b∈R

^{x→+∞ x→+∞}

Punkt przegięcia:

Punkt (x₀, f( x₀ )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji y= f (x), jeżeli w lewostronnym sąsiedztwie punktu x₀ funkcja jest wypukła i w prawostronnym sąsiedztwie punktu x₀ wklęsła, lub odwrotnie.

Jeżeli funkcja y= f( x )ma w przedziale (a ; b) pochodną f'(x) i drugą pochodną f ''(x) ciągłą, to punkt (x₀, f(x₀)), gdzie x₀∈ (a; b), jest punktem przegięcia wykresu funkcji y= f(x) gdy f '(x₀) = 0 , f ''(x₀) =0, a znaki f ''(x) w lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwie punktu x₀ są różne.

Badanie przebiegu zmienności funkcji y= f(x)

Badanie funkcji ma na celu uzyskanie wyczerpującej informacji o tej funkcji. Elementy w badaniu:

1. Analiza funkcji:

1. wyznaczenie dziedziny funkcji

2. zbadanie własności funkcji

(parzystość, nieparzystość, okresowość)

3. wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osią OX oraz z osią OY

4. obliczanie granic na krańcach przedziałów określoności i w punktach nieokreśloności

5. wyznaczenie asymptot

2. Analiza pierwszej pochodnej funkcji:

a) wyznaczenie zbioru, w którym funkcja f jest różniczkowalna i wyliczenie pochodnej

b) wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej

c) wyznaczenie zbiorów, w których f '(x)>0 i w których f '(x)<0 - określenie monotoniczności funkcji

d) wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji

3. Analiza drugiej pochodnej:

1. wyznaczenie zbioru, w którym f ` jest różniczkowalna

2. wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej

3. określenie przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji

4. wyznaczenie punktów przegięcia

5. wyznaczenie ekstremów funkcji (gdy nie wyznaczono ich w punkcie 2

4. Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji.

5. Sporządzenie wykresu funkcji.

Przykład:

Zbadaj przebieg zmienności funkcji.

y= x⁴-2x²+1

1. Wyznaczam dziedzinę

D∈R

2. Wyznaczam granicę funkcji na krańcu przedziałów określoności

lim (x⁴ - 2x² +1)= lim x⁴(1 -
₂ +
₄ ) = +∞

^{x→-∞ x→-∞}

lim (x⁴ - 2x² +1)= lim x⁴(1 -
₂ +
₄ ) = +∞

^{x→+∞ x→+∞}

3. Wyznaczam miejsca zerowe funkcji

1. z osią OX b) z osią OY

y = x⁴-2x²+1 y (0) = 1

y = 0 B = (0 , 1)

x⁴-2x²+1=0

p∈ - + 1

W (1) = 1-2+1=0

(x⁴-2x²+1) : (x-1)= x³+x² - x - 1

-x³ + x³

= x³ -2x²

- x³ +x²

= -x²+1

-x² -x

= - x +1

x - 1

= =

W (1)=1+1-1-1=0

(x³ + x² - x - 1) : (x - 1) = x² +2x + 1

-x³ + x²

= 2x² - x

• 2x² + 2x

= x - 1

- x + 1

= =

(x-1) (x-1) (x+1)² = 0

(x²-1) (x+1)² = 0

x =1 ν x=-1

A₁(-1;0) A₂(1;0)

4. Wyznaczam pochodną

y'=0 warunek konieczny istnienia ekstremum

y'=4x³-4x

4x³-4x=0

4x(x²-1)=0

4x(x-1)(x+1)=0

x=0 ν x=1 ν x=-1

E₁(0,1)

E₂(-1,0)

E₃(1,0)

5. Tabela przebiegu zmienności:

X	(-∞,-1)	-1	(-1,0)	0	(0,1)	1	(1, ∞)
Y'	-	0	+	0	-	0	+
y	↓	0	↑	1	↓	0	↑

min max min

---