1
ZASTOSOWANIE POCHODNEJ DO BADANIA WYRAŻEŃ NIEOZNACZONYCH TYPU
0
0
,
∞
±
∞
±
Twierdzenie de L’Hospitala / Bernoulliego
Jeżeli :
1) funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
b
a,
2)
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
=
=
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
( )
b
a
x
,
0
∈
3) istnieje skończona pochodna
)
(
0
'
x
f
,
)
(
0
'
x
g
przy czym
0
)
(
0
'
≠
x
g
to
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
'
0
'
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
=
→
Dowód: Z istnienia skończonych pochodnych
)
(
0
'
x
f
,
)
(
0
'
x
g
wynika, że funkcje
f
,
g
są
ciągłe w
0
x
tzn.
0
)
(
)
(
lim
)
2
0
0
=
=
→
x
f
x
f
x
x
0
)
(
)
(
lim
)
2
0
0
=
=
→
x
g
x
g
x
x
Ponieważ
0
)
(
0
'
≠
x
g
więc ze wzoru Taylora wynika, że istnieje takie otoczenie
(
)
r
x
r
x
x
V
x
r
+
−
=
0
0
0
0
,
)
(
:
, że
0
)
(
≠
x
g
dla
{ }
0
0
\
)
(
x
x
V
r
zatem dla
{ }
0
0
\
)
(
x
x
V
x
r
∈
mamy
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
'
0
'
0
0
0
0
0
0
0
x
g
x
f
x
x
x
g
x
g
x
x
x
f
x
f
x
g
x
g
x
f
x
f
x
g
x
f
x
x→
→
−
−
−
−
=
−
−
=
Twierdzenie 2
Jeżeli :
1) funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
b
a
,
2)
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
=
=
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
( )
b
a
x
,
0
∈
3) na przedziale
( )
b
a,
istnieje skończona pochodna
)
1
(
''
'
,...,
,
−
n
f
f
f
,
)
1
(
''
'
,...,
,
−
n
g
g
g
przy czym pochodne te
0
)
(
)
(
)
(
)
(
=
=
x
g
x
f
i
i
dla
1
,...
2
,
1
−
=
n
i
4) istnieje skończone pochodne
)
(
0
)
(
x
f
n
,
)
(
0
)
(
x
g
n
przy czym
0
)
(
0
)
(
≠
x
g
n
to
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
n
n
x
x
=
→
Twierdzenie 3
Jeżeli:
1) funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
(
)
δ
+
0
0
, x
x
0
>
δ
2) wyliczamy granicę
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
=
=
+
+
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
3) na przedziale
(
)
δ
+
0
0
, x
x
istnieje skończona pochodna
)
(i
f
,
)
(i
g
1
,...
2
,
1
−
=
n
i
przy czym
0
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
0
0
=
=
+
+
→
→
x
g
x
f
i
x
x
i
x
x
2
4) na przedziale
(
)
δ
+
0
0
, x
x
0
>
δ
istnieje skończona pochodna
)
(n
f
,
)
( n
g
przy czym
0
)
(
≠
n
g
oraz istniej skończona lub nieskończona granica
)
(
)
(
lim
0
x
g
x
f
n
n
x
x
+
→
to
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
n
n
x
x
x
x
+
+
→
→
=
Uwaga: Twierdzenie to zachodzi również gdy
(
)
0
0
, x
x
δ
−
0
<
δ
Twierdzenie 4
Jeżeli:
1) funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
)
,+∞
a
,
0
>
a
2)
0
)
(
lim
)
(
lim
=
=
+∞
→
+∞
→
x
g
x
f
x
x
3) na przedziale
)
,+∞
a
,
0
>
a
istnieje skończona pochodna
'
f ,
'
g przy czym
0
)
(
'
≠
x
g
oraz istniej skończona lub nieskończona granica
)
(
)
(
lim
'
'
x
g
x
f
x
+∞
→
to
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
'
'
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
+∞
→
+∞
→
=
Twierdzenie 5
Jeżeli:
1) funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
(
)
δ
+
0
0
, x
x
,
0
>
δ
2)
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
=
=
+
+
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
3) na przedziale
(
)
δ
+
0
0
, x
x
,
0
>
δ
istnieje skończona pochodna
'
f ,
'
g przy czym
0
)
(
'
≠
x
g
oraz istniej skończona lub nieskończona granica
)
(
)
(
lim
'
'
0
x
g
x
f
x
x
+
→
to
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
'
'
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
+
+
→
→
=
Uwaga: Jeżeli funkcja
f
,
g
dążą do
∞
+ przy
0
x
x
→
to zamiast badać wyrażenie typu
∞
∞
można badać wyrażenie typu
0
0
gdyż
∞
∞
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
x
f
x
g
x
g
x
f
=
0
0
WYRAŻENIA NIEOZNACZONE TYPU
(
)
∞
⋅
0
(
)
−∞
⋅
∞
( )
∞
1
( )
0
0
( )
0
∞
Nieoznaczoność typu
(
)
∞
⋅
0
można sprowadzić do postaci
0
0
lub
∞
∞
3
Jeżeli
0
)
(
lim
0
=
→
x
f
x
x
,
+∞
=
→
)
(
lim
0
x
g
x
x
to piszemy
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
∞
+
≡
≡
⋅
Jeżeli
+∞
=
→
)
(
lim
0
x
f
x
x
,
+∞
=
→
)
(
lim
0
x
g
x
x
to badając granicę
(
)
)
(
)
(
lim
0
x
g
x
f
x
x
−
→
można napisać
0
0
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
1
1
)
(
1
1
)
(
)
(
=
⋅
−
=
−
=
−
x
g
x
f
x
f
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
Jeżeli
(
)
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
f
=
jest przy
0
x
x →
wyrażeniem nieoznaczonym typu
( )
∞
1
( )
0
0
( )
0
∞
to równanie
(
)
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
f
=
logarytmujemy obustronnie
(
)
)
(
)
(
ln
ln
x
g
x
f
y =
(
)
)
(
ln
)
(
ln
x
f
x
g
y =
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
janusz w 03 2010d zast poch
13 zast ca TEORIA
13 zast ca TEORIA
Ubytki,niepr,poch poł(16 01 2008)
13 ZMIANY WSTECZNE (2)id 14517 ppt
13 zakrzepowo zatorowa
Zatrucia 13
pz wyklad 13
13 ALUid 14602 ppt
pz wyklad 13
ZARZ SRODOWISKIEM wyklad 13
Biotechnologia zamkniete użycie (2012 13)
POCH SA
Prezentacja 13 Dojrzewanie 2
więcej podobnych podstron