ZAST

OSOWAN I A P

OCH ODN YCH

D E FIN ICJA . Za l´o ˙zm y, ˙ze fu n kc je

u( x)

o r a z

v( x)

s ¸a o kr e ´s lo n e w

p e wn ym

s ¸a s ie d z wie S p u n kt u a o r a z ˙ze v( x) = 0 d la x ∈ S. M´o wim y,

˙ze ilo r a z

u(x)
v(x)

je s t w p u n kc ie a symbolem nieoznaczonym typu

0
0

,

g d y lim

x→a

u( x) = 0

o r a z

lim

x→a

v( x) = 0 .

P o d o b n ie d e fi n iu je s i¸e s ym b o le n ie o z n a c z o n e ( z a r ´o wn o w p u n kc ie a

ja k i w +∞ o r a z w −∞) t yp u

+∞

+∞

,

−∞

+∞

,

+∞
−∞

,

−∞
−∞

,

+∞ − ∞

,

0 · ∞

,

0

0

,

1

∞

,

∞

0

.

Cz t e r y p ie r ws z e s ym b o le t u o p is a n e b ¸e d ¸e ws p ´o ln ie z a p is ywa l

∞
∞

.

TW IE R D ZE N IE ( R e g u la d e L ’H o s p it a la ) .
Za l´o ˙zm y, ˙ze fu n kc je

u( x)

o r a z

v( x)

s ¸a r ´o ˙zn ic z ko wa ln e w p e wn ym

s ¸a s ie d z t wie S p u n kt u a, ˙ze

v

′

( x) = 0

d la

x ∈ S o r a z ˙ze wyr a ˙ze n ie

u(x)
v(x)

je s t w p u n kc ie a s ym b o le m

n ie o z n a c z o n ym

t yp u

0
0

lu b

∞
∞

.

Je ˙ze li is t n ie je ( s ko ´n c z o n a lu b n ie s ko ´n c z o n a ) g r a n ic a

lim

x→a

u

′

(x)

v

′

(x)

, t o

is t n ie je

lim

x→a

u(x)
v(x)

o r a z

lim

x→a

u( x)
v( x)

= lim

x→a

u

′

( x)

v

′

( x)

.

U W A GA . W

t e j r e g u le z a m ia s t

x → a m o ˙zn a wp is a ´c

x → a

+

,

x → a

−

, x → ∞, x → −∞.

P R ZY K L A D 1 . S ym b o l

0
0

.

lim

x→1

s in ( x

2

− 1 )

s in ( x − 1 )

(H)

=

[

0
0

]

lim

x→1

s in ( x

2

− 1 )

′

s in ( x − 1 )

′

= lim

x→1

[c o s ( x

2

− 1 ) ] · 2 x

c o s ( x − 1 )

= 2

P R ZY K L A D 2 . S ym b o l

∞
∞

.

lim

x→∞

e

x

x

2

− 2 x + 3

(H)

=

[

∞

∞

]

lim

x→∞

e

x

2 x − 2

(H)

=

[

∞

∞

]

lim

x→∞

e

x

2

= ∞

P R ZY K L A D 3 . S ym b o l [∞ − ∞].

lim

x→0+

1

s in x

−

1

x

=

[∞−∞]

lim

x→0+

x − s in x

x s in x

(H)

=

[

0
0

]

lim

x→0+

1 − c o s x

s in x + x c o s x

(H)

=

[

0
0

]

lim

x→0+

s in x

c o s x + c o s x − x s in x

=

0

1 + 1 − 0 · 0

= 0

1

2

P R ZY K L A D 4 . S ym b o l [0 · ∞].

lim

x→0+

x ln x

=

[0·(−∞)]

lim

x→0+

ln x

1
x

(H)

=

[

−∞

+∞

]

lim

x→0+

1
x

−

1

x

2

= lim

x→0+

( −x) = 0

P R ZY K L A D 5 . S ym b o l

∞

0

.

lim

x→∞

x

1
x

=

[∞

0

]

lim

x→∞

e

1
x

·ln x

= e

0

= 1 ,

b o

lim

x→∞

1

x

ln x =

[0·∞]

lim

x→∞

ln x

x

(H)

=

[

∞

∞

]

lim

x→∞

1
x

1

= 0

TW IE R D ZE N IE ( L a g r a n g e ’a o wa r t o ´s c i ´s r e d n ie j) .
Je ˙ze li fu n kc ja f je s t c i¸a g la w p r z e d z ia le [a, b] i r ´o ˙zn ic z ko wa ln a w ( a, b) ,
t o is t n ie je

c ∈ ( a, b) t a ki, ˙ze

f ( b) − f( a)

b − a

= f

′

( c) .

IN TE R P R E TA CJA GE OME TR Y CZN A .
N a wykr e s ie fu n kc ji y = f ( x) is t n ie je t a ki p u n kt ( c, f ( c) ) , ˙ze s t yc z n a
w t ym

p u n kc ie d o wykr e s u

fu n kc ji je s t r ´o wn o le g la d o p r o s t e j p r z e -

c h o d z ¸a c e j p r z e z p u n kt y ( a, f( a) ) , ( b, f( b) ) .

W N IOS K I.

1 . Fu n kc ja o p o c h o d n e j s t a le d o d a t n ie j w p e wn ym

p r z e d z ia le je s t w

t ym

p r z e d z ia le r o s n ¸a c a .

D ow´od. N ie c h x

1

o r a z x

2

b ¸e d ¸a d o wo ln ym i p u n kt a m i z p r z e d z ia lu

t a kim i, ˙ze

x

1

< x

2

. Z t wie r d z e n ia L a g r a n g e ’a z a s t o s o wa n e g o

d o p r z e d z ia lu

[x

1

, x

2

] wie m y, ˙ze is t n ie je t a ki c ∈ ( x

1

, x

2

) , ˙ze

f (x

2

)−f(x

1

)

x

2

−x

1

= f

′

( c) > 0

( p o c h o d n a w ka ˙zd ym

p u n kc ie je s t d o d a t -

n ia ) . Za t e m

x

1

< x

2

im p liku je

f ( x

1

) < f ( x

2

) , c z yli fu n kc ja je s t

r o s n ¸a c a .

2 . Fu n kc ja o p o c h o d n e j s t a le u je m n e j w p e wn ym

p r z e d z ia le je s t w

t ym

p r z e d z ia le m a le j¸a c a .

D ow´od. N ie c h x

1

o r a z x

2

b ¸e d ¸a d o wo ln ym i p u n kt a m i z p r z e d z ia lu

t a kim i, ˙ze

x

1

< x

2

. Z t wie r d z e n ia L a g r a n g e ’a

f (x

2

)−f(x

1

)

x

2

−x

1

=

f

′

( c) < 0 . Za t e m

x

1

< x

2

im p liku je

f ( x

1

) > f ( x

2

) , c o o z n a c z a ,

˙ze f m a le je .

3

3 . Fu n kc ja c i¸a g la w p r z e d z ia le

[a, b], r ´o ˙zn ic z ko wa ln a w ( a, b)

o

p o c h o d n e j s t a le r ´o wn e j 0 je s t s t a la w [a, b].

D ow´od. N ie c h x b ¸e d z ie d o wo ln ym

p u n kt e m

z p r z e d z ia lu

( a, b]. Z

t wie r d z e n ia L a g r a n g e ’a z a s t o s o wa n e g o d o p r z e d z ia lu [a, x] wie m y,

˙ze

f (x)−f(a)

x−a

= f

′

( c) = 0 . Za t e m

f ( x) = f( a) , fu n kc ja f je s t s t a la .

D E FIN ICJA . Za l´o ˙zm y, ˙ze fu n kc ja f je s t o kr e ´s lo n a w p e wn ym

o t o c z e n iu

p u n kt u x

0

. M´o wim y, ˙ze fu n kc ja t a m a w p u n kc ie x

0

maksimum lokalne,

je ˙ze li is t n ie je t a kie s ¸a s ie d z t wo S p u n kt u x

0

, ˙ze

x∈S

f ( x) < f( x

0

) .

D E FIN ICJA . Za l´o ˙zm y, ˙ze fu n kc ja f je s t o kr e ´s lo n a w p e wn ym

o t o c z e n iu

p u n kt u x

0

. M´o wim y, ˙ze fu n kc ja t a m a w p u n kc ie x

0

minimum lokalne,

je ˙ze li is t n ie je t a kie s ¸a s ie d z t wo S p u n kt u x

0

, ˙ze

x∈S

f ( x) > f( x

0

) .

W A R U N E K

K ON IE CZN Y IS TN IE N IA E K S TR E MU M.

Je ˙ze li fu n kc ja f je s t r ´o ˙zn ic z ko wa ln a w p r z e d z ia le o t wa r t ym

i m a e k-

s t r e m u m

w p u n kc ie x

0

z t e g o p r z e d z ia lu , t o

f

′

( x

0

) = 0 .

D ow´od. Za l´o ˙zm y, ˙ze f m a w x

0

m in im u m . W t e d y f( x) − f( x

0

) > 0

d la x z p e wn e g o s ¸a s ie d z t wa S p u n kt u x

0

. Za t e m

d la

x ∈ S ilo r a z

r ´o ˙zn ic o wy

f (x)−f (x

0

)

x−x

0

je s t u je m n y d la

x < x

0

o r a z d o d a t n i d la

x > x

0

.

Oz n a c z a t o , ˙ze

lim

x→x

−
0

f (x)−f (x

0

)

x−x

0

≤ 0

o r a z lim

x→x

+
0

f (x)−f(x

0

)

x−x

0

≥ 0 .

P o n ie wa ˙z o b ie g r a n ic e s ¸a s o b ie r ´o wn e ( p o c h o d n a is t n ie je ) , wi¸e c f

′

( x

0

) =

lim

x→x

0

f (x)−f(x

0

)

x−x

0

= 0 . P o d o b n ie , g d y f m a w x

0

m a ks im u m , t o g r a n ic a

le wo s t r o n n a ilo r a z u r ´o ˙zn ic o we g o je s t n ie u je m n a , a p r a wo s t r o n n a je s t
n ie d o d a t n ia . P o n ie wa ˙z o b ie g r a n ic e s ¸a s o b ie r ´o wn e , wi¸e c g r a n ic a t a t o
z e r o .

W A R U N E K

W Y S TA R CZA JA¸ CY IS TN IE N IA E K S TR E MU M ( I) .

Za l´o ˙zm y ˙ze fu n kc ja f je s t r ´o ˙zn ic z ko wa ln a w p e wn ym

s ¸a s ie d z t wie p u n kt u

x

0

i ˙ze je s t c i¸a g la w x

0

. Je ˙ze li p o c h o d n a f

′

p r z y p r z e j´s c iu p r z e z x

0

z m ie n ia z n a k z ” +” n a ” -” , t o fu n kc ja f m a m a ks im u m

lo ka ln e w t ym

p u n kc ie . Je ˙ze li p o c h o d n a f

′

p r z y p r z e j´s c iu p r z e z x

0

z m ie n ia z n a k z ” -”

n a ” +” , t o fu n kc ja f m a m in im u m

lo ka ln e w t ym

p u n kc ie .

D ow´od. Za l´o ˙zm y, ˙ze is t n ie je s ¸a s ie d z t wo S p u n kt u x

0

, ˙ze

f

′

( x) > 0

d la

x < x

0

, x ∈ S o r a z

f

′

( x) < 0

d la

x > x

0

, x ∈ S. Oz n a c z a t o , ˙ze

fu n kc ja f p r z e c h o d z i z r o s n ¸a c e j w m a le j¸a c ¸a , a wi¸e c

f ( x

0

) > f ( x)

d la

x < x

0

, x ∈ S o r a z f( x

0

) > f ( x)

d la

x > x

0

, x ∈ S. Za t e m

f m a

m a ks im u m

lo ka ln e w x

0

. P o d o b n ie , je ˙ze li p o c h o d n a f

′

p r z y p r z e j´s c iu

p r z e z x

0

z m ie n ia z n a k z ” -” n a ” +” , t o fu n kc ja f p r z e c h o d z i z m a le j¸a c e j

w r o s n ¸a c ¸a i m a m in im u m

lo ka ln e w x

0

.

4

W A R U N E K

W Y S TA R CZA JA¸ CY IS TN IE N IA E K S TR E MU M ( II) .

Za l´o ˙zm y ˙ze fu n kc ja f m a c i¸a g l¸a p o c h o d n ¸a d r u g ie g o r z ¸e d u w p e wn ym
o t o c z e n iu p u n kt u x

0

o r a z ˙ze

f

′

( x

0

) = 0 .

1 . Je ˙ze li f

′′

( x

0

) < 0 , t o fu n kc ja f m a w p u n kc ie x

0

m a ks im u m

lo ka ln e .

2 . Je ˙ze li f

′′

( x

0

) > 0 , t o fu n kc ja f m a w p u n kc ie x

0

m in im u m

lo ka ln e .

3 . Za l´o ˙zm y, ˙ze

f

′′

( x

0

) = 0

i ˙ze f m a p o c h o d n e wy˙zs z yc h r z ¸e d ´o w

wl¸a c z n ie z p o c h o d n ¸a

f

(n)

o r a z z a l´o ˙zm y ˙ze f

(n)

je s t c i¸a g la w x

0

.

P o n a d t o n ie c h

f

′′

( x

0

) = · · · = f

(n−1)

( x

0

) = 0 , f

(n)

( x

0

) = 0 .

Je ˙ze li n je s t lic z b ¸a n ie p a r z ys t ¸a , t o fu n kc ja f n ie m a e ks t r e m u m

w

x

0

. Je ˙ze li n je s t lic z b ¸a p a r z ys t ¸a , t o f m a e ks t r e m u m

lo ka ln e w x

0

i t o m a ks im u m , je ´s li f

(n)

( x

0

) < 0 , a m in im u m

je ´s li f

(n)

( x

0

) > 0 .

D ow´od tylko cz¸e´sci 1 i 2. Je ˙ze li f

′′

( x

0

) < 0

i f

′′

je s t c i¸a g la , t o

is t n ie je t a kie o t o c z e n ie Q p u n kt u

x

0

, ˙ze

f

′′

( x) < 0

d la

x ∈ Q.

P o n ie wa ˙z f

′′

= ( f

′

)

′

, wi¸e c f

′

je s t fu n kc j¸a m a le j¸a c ¸a w Q. Za t e m

z

wa r u n ku

f

′

( x

0

) = 0

wn io s ku je m y, ˙ze

f

′

( x) > 0

d la

x < x

0

, x ∈ Q

o r a z

f

′

( x) < 0

d la

x > x

0

, x ∈ Q. Z wa r u n ku wys t a r c z a j¸a c e g o ( I)

wie m y, ˙ze w x

0

fu n kc ja f m a m a ks im u m

lo ka ln e .

P o d o b n ie , je ´s li f

′′

( x

0

) > 0 , t o is t n ie je t a kie o t o c z e n ie Q p u n kt u x

0

,

˙ze fu n kc ja f

′

je s t r o s n ¸a c a w Q. Oz n a c z a t o , ˙ze f

′

p r z y p r z e j´s c iu p r z e z

x

0

z m ie n ia z n a k z ” -” n a ” +” , a z a t e m

fu n kc ja f m a m in im u m

lo ka ln e

w x

0

.

P R ZY K L A D 6 .
Zn a jd ´z e ks t r e m a ( lo ka ln e ) fu n kc ji f ( x) =

3

( x

2

− 1 )

2

.

1 . D z ie d z in a fu n kc ji: D

f

= R.

S z u ka m y p u n kt ´o w ” p o d e jr z a n yc h ” o e ks t r e m u m .
P o c h o d n a : f

′

( x) =

( x

2

− 1 )

2
3

′

=

2
3

( x

2

− 1 )

−

1
3

· 2 x =

4x

3

3

√

x

2

−1

.

D z ie d z in a p o c h o d n e j: D

f

′

= R \ {−1 , 1 }.

Oc z ywi´s c ie , f

′

( x) = 0 ⇔ x = 0 .

P u n kt y ” p o d e jr z a n e ” o e ks t r e m u m

lo ka ln e fu n kc ji f t o

x

0

= 0 ,

x

1

= −1 , x

2

= 1

( w p ie r ws z ym

z n ic h p o c h o d n a s i¸e z e r u je , w

p o z o s t a lyc h p o c h o d n a n ie is t n ie je , c h o ´c fu n kc ja is t n ie je ) .

2 . Zn a ki f

′

. P o c h o d n a je s t d o d a t n ia w p r z e d z ia le

( −1 , 0 )

o r a z

( 1 , ∞) . P o c h o d n a je s t u je m n a w p r z e d z ia le ( −∞, −1 ) o r a z ( 0 , 1 ) .
Z p ie r ws z e g o wa r u n ku wys t a r c z a j¸a c e g o is t n ie n ia e ks t r e m u m
wn io s ku je m y, ˙ze f m a m a ks im u m

( lo ka ln e ) w p u n kc ie

x

0

= 0 ,

m in im u m

( lo ka ln e ) w x

1

= −1 o r a z m in im u m ( lo ka ln e ) w x

2

= 1 .

P R ZY K L A D 7 .
Zn a jd ´z e ks t r e m a ( lo ka ln e ) fu n kc ji f ( x) = x

4

.

5

1 . D z ie d z in a fu n kc ji: D

f

= R.

S z u ka m y p u n kt ´o w ” p o d e jr z a n yc h ” o e ks t r e m u m .
P o c h o d n a : f

′

( x) = 4 x

3

. D z ie d z in a p o c h o d n e j: D

f

′

= R.

Oc z ywi´s c ie , f

′

( x) = 0 ⇔ x = 0 .

P u n kt ” p o d e jr z a n y” o e ks t r e m u m

fu n kc ji f t o

x

0

= 0 .

2 . W

t ym

p r z ykla d z ie z a s t o s u je m y d r u g i wa r u n e k wys t a r c z a j¸a c y is t -

n ie n ia e ks t r e m u m .
f

′′

( x) = 1 2 x

2

, f

′′

( 0 ) = 0

( ” lic z ym y d a le j” )

f

′′′

( x) = 2 4 x, f

′′′

( 0 ) = 0

( ” lic z ym y d a le j” )

f

(4)

( x) = 2 4 , f

(4)

( 0 ) > 0 ; w p u n kc ie

x

0

= 0

je s t m in im u m .

D E FIN ICJA . L ic z b ¸e M n a z ywa m y warto´sci¸a najwi¸eksz¸a (maksimum
globalnym) funkcji f w zbiorze D, je ˙ze li

x

1

∈D

f ( x

1

) = M ∧

x∈D

f ( x) ≤ M.

L ic z b ¸e m n a z ywa m y warto´sci¸a najmniejsz¸a (minimum globalnym) funkcji
f w zbiorze D, je ˙ze li

x

2

∈D

f ( x

2

) = m ∧

x∈D

f ( x) ≥ m.

TW IE R D ZE N IE . Fu n kc ja c i¸a g la w p r z e d z ia le d o m kn i¸e t ym

o s i¸a g a w

p e wn yc h

p u n kt a c h

t e g o p r z e d z ia lu

s wo j¸a wa r t o ´s ´c n a jwi¸e ks z ¸a i n a j-

m n ie js z ¸a .

U W A GA .
A b y z n a le ´z ´c e ks t r e m a g lo b a ln e fu n kc ji f w p r z e d z ia le [a, b] wys t a r c z y:

1 . z n a le ´z ´c p u n kt y ” p o d e jr z a n e o e ks t r e m u m ” w ( a, b)

( t o z n a c z y

p u n kt y, w kt ´o r yc h p o c h o d n a je s t r ´o wn a z e r o lu b n ie is t n ie je ) ;

2 . o b lic z y´c wa r t o ´s c i fu n kc ji f w t yc h p u n kt a c h o r a z w p u n kt a c h a, b

( n a ko ´n c a c h p r z e d z ia lu ) ;

3 . z u z ys ka n yc h lic z b wyb r a ´c n a jwi¸e ks z ¸a i n a jm n ie js z ¸a .

P R ZY K L A D 8 .
Zn a jd ´z wa r t o ´s ´c n a jwi¸e ks z ¸a i n a jm n ie js z ¸a fu n kc ji f ( x) =

3

( x

2

− 1 )

2

w p r z e d z ia le

[−2 ,

1
2

].

1 . D z ie d z in a fu n kc ji: D

f

= R.

S z u ka m y p u n kt ´o w ” p o d e jr z a n yc h ” o e ks t r e m u m .
Ja k wie m y z p r z ykla d u 6 , p u n kt y ” p o d e jr z a n e ” o e ks t r e m u m

lo ka ln e

fu n kc ji f t o

x

0

= 0 , x

1

= −1 , x

2

= 1

( w p ie r ws z ym

z n ic h

p o c h o d n a s i¸e z e r u je , w p o z o s t a lyc h p o c h o d n a n ie is t n ie je , c h o ´c
fu n kc ja is t n ie je ) .
P u n kt y ” p o d e jr z a n e ” n a le ˙z ¸a c e d o r o z wa ˙za n e g o p r z e d z ia lu

[−2 ,

1
2

]

t o

x

0

= 0 , x

1

= −1 .

2 . Ob lic z a m y: f ( 0 ) = 1 , f ( −1 ) = 0 , f( −2 ) =

3

√

9 , f (

1
2

) =

3

9

16

.

3 . W a r t o ´s ´c n a jwi¸e ks z a t o

3

√

9 , wa r t o ´s ´c n a jm n ie js z a t o 0 .