B

ADAN I E

P

RZE B

I E GU ZM

I E N N O´

SCI

FUN KCJI

W yko n u je m y wykr e s fu n kc ji wyz n a c z a j¸a c wc z e ´s n ie j:

1 . d z ie d z in ¸e fu n kc ji;
2 . g r a n ic e n a ko ´n c a c h p r z e d z ia l´o w o kr e ´s lo n o ´s c i i z n a jd u j¸a c a s ym p t o t y;
3 . p o c h o d n ¸a f

′

( x) i je j z n a ki ( u s t a la j¸a c e ks t r e m a i p r z e d z ia ly m o n o t o n ic z n o ´s c i) ;

4 . p o c h o d n ¸a f

′′

( x) i je j z n a ki ( u s t a la j¸a c p u n kt y p r z e g i¸e c ia i p r z e d z ia ly wyp u klo ´s c i

i wkl¸e s lo ´s c i) .

D E FIN ICJA . Asymptota pionowa wykr e s u fu n kc ji y = f ( x) t o p r o s t a

x = x

0

, je ˙ze li

lim

x→x

−

0

f ( x) = ∞ ( a lb o −∞)

lu b

lim

x→x

+
0

f ( x) = ∞ ( a lb o −∞) .

P R ZY K L A D . Zn a le ´z ´c a s ym p t o t y p io n o we wykr e s u fu n kc ji f ( x) = ln ( 1 − x

3

) .

D z ie d z in ¸a fu n kc ji je s t p r z e d z ia l ( −∞, 1 ) ; lim

x→1

−

ln ( 1 − x

3

) = −∞, wi¸e c is t n ie je

a s ym p t o t a p io n o wa ( le wo s t r o n n a ) o r ´o wn a n iu

x = 1 .

D E FIN ICJA . Je ˙ze li is t n ie j¸a lic z b y m o r a z n t a kie , ˙ze

lim

x→∞

[f ( x) − ( mx + n) ] = 0 ,

t o p r o s t ¸a

y = mx + n n a z ywa m y asymptot¸a uko´sn¸a praw¸a wykr e s u fu n kc ji.

D E FIN ICJA . Je ˙ze li is t n ie j¸a lic z b y m o r a z n t a kie , ˙ze

lim

x→−∞

[f ( x) − ( mx + n) ] = 0 ,

t o p r o s t ¸a

y = mx + n n a z ywa m y asymptot¸a uko´sn¸a lew¸a wykr e s u fu n kc ji.

U W A GA . Je ˙ze li m = 0 , t o a s ym p t o t ¸e u ko ´s n ¸a n a z ywa m y p o z io m ¸a .

TW IE R D ZE N IE . Je ˙ze li is t n ie j¸a s ko ´n c z o n e g r a n ic e

lim

x→∞

f (x)

x

( o z n a c z ym y j¸a p r z e z

m) o r a z

lim

x→∞

[f ( x) − mx] ( o z n a c z ym y j¸a p r z e z n) t o wykr e s fu n kc ji y = f( x)

m a a s ym p t o t ¸e u ko ´s n ¸a p r a w¸a o r ´o wn a n iu

y = mx + n. P o d o b n ie is t n ie je a s ym p t o t a

u ko ´s n a le wa

y = mx + n, g d y lim

x→−∞

f (x)

x

= m o r a z

lim

x→−∞

[f( x) − mx] = n.

P R ZY K L A D . Zn a le ´z ´c a s ym p t o t y wykr e s u fu n kc ji f ( x) =

√

x + x.

D z ie d z in ¸a fu n kc ji je s t

D = [0 , ∞) , fu n kc ja je s t c i¸a g la , wi¸e c n ie m a a s ym p t o t p io -

n o wyc h i n ie m a a s ym p t o t y u ko ´s n e j le we j. S p r a wd z a m y is t n ie n ie a s ym p t o t y p r a we j.

lim

x→∞

f ( x)

x

= lim

x→∞

√

x + x

x

= lim

x→∞

1

√

x

+ 1

= 1 ,

z a t e m

m = 1 .

lim

x→∞

[f( x) − mx] = lim

x→∞

√

x + x − 1 · x

= lim

x→∞

√

x = ∞,

a wi¸e c n ie m a t a k˙ze a s ym p t o t y p r a we j.

P R ZY K L A D . Zn a le ´z ´c a s ym p t o t y wykr e s u fu n kc ji f ( x) = x a r c t g x.

D z ie d z in ¸a fu n kc ji je s t R, fu n kc ja je s t c i¸a g la , wi¸e c n ie m a a s ym p t o t p io n o wyc h .

S p r a wd z a m y is t n ie n ie a s ym p t o t y u ko ´s n e j p r a we j.

lim

x→∞

f ( x)

x

= lim

x→∞

x a r c t g x

x

= lim

x→∞

a r c t g x =

π

2

= m,

lim

x→∞

[f( x) − mx] = lim

x→∞

x a r c t g x −

π

2

x

= lim

x→∞

a r c t g x −

π

2

1
x

(H)

= lim

x→∞

1

1+x

2

−

1

x

2

= −1 = n,

wi¸e c wykr e s fu n kc ji m a a s ym p t o t ¸e p r a w¸a o r ´o wn a n iu

y =

π

2

x − 1 . Fu n kc ja f je s t

p a r z ys t a , z a t e m

je j wykr e s m a t e ˙z a s ym p t o t ¸e u ko ´s n ¸a le w¸a o r ´o wn a n iu

y = −

π

2

x − 1 .

1

2

D E FIN ICJA . Za l´o ˙zm y, ˙ze fu n kc ja f je s t r ´o ˙zn ic z ko wa ln a w p r z e d z ia le ( a, b) . M´o wim y,

˙ze wykr e s fu n kc ji y = f( x)

je s t wypukly w ( a, b) , g d y je s t p o lo ˙zo n y n a d s t yc z n ¸a

d o wykr e s u p o p r o wa d z o n ¸a w d o wo ln ym

p u n kc ie

( c, f ( c) ) , c ∈ ( a, b) . M´o wim y, ˙ze

wykr e s fu n kc ji y = f( x)

je s t wkl¸esly w ( a, b) , g d y je s t p o lo ˙zo n y p o d s t yc z n ¸a d o

wykr e s u p o p r o wa d z o n ¸a w d o wo ln ym

p u n kc ie

( c, f ( c) ) , c ∈ ( a, b) .

D E FIN ICJA . Za l´o ˙zm y, ˙ze fu n kc ja f je s t r ´o ˙zn ic z ko wa ln a w p e wn ym

s ¸a s ie d z t wie p u n kt u

x

0

. M´o wim y, ˙ze p u n kt ( x

0

, f ( x

0

) ) je s t punktem przegi¸ecia wykr e s u fu n kc ji y = f ( x) ,

je ˙ze li wykr e s t e n je s t wyp u kly z je d n e j, a wkl¸e s ly z d r u g ie j s t r o n y t e g o p u n kt u .

TW IE R D ZE N IE . Za l´o ˙zm y, ˙ze f

′′

je s t fu n kc j¸a c i¸a g l¸a w ( a, b) . Je ˙ze li f

′′

( x) > 0

d la

x ∈ ( a, b) , t o wykr e s fu n kc ji f je s t wyp u kly w t ym

p r z e d z ia le . Je ˙ze li n a t o m ia s t

f

′′

( x) < 0

d la

x ∈ ( a, b) , t o wykr e s fu n kc ji f je s t wkl¸e s ly.

P R ZY K L A D . Zn a le ´z ´c e ks t r e m a fu n kc ji o r a z a s ym p t o t y, p r z e d z ia ly wyp u klo ´s c i,
wkl¸e s lo ´s c i i p u n kt y p r z e g i¸e c ia wykr e s u fu n kc ji f( x) =

2

π

a r c s in

2x

x

2

+1

.

D z ie d z in a fu n kc ji:

−1 ≤

2x

x

2

+1

≤ 1 ,

−x

2

− 1 ≤ 2 x ≤ x

2

+ 1 ,

−x

2

− 2 x − 1 ≤ 0 ≤ x

2

− 2 x + 1 ,

−( x + 1 )

2

≤ 0 ≤ ( x − 1 )

2

,

D

f

= R.

N ie m a wi¸e c a s ym p t o t p io n o wyc h . Je s t a s ym p t o t a p o z io m a ( p r a wa i le wa ) o r ´o wn a n iu
y = 0 , g d y˙z

lim

x→±∞

f ( x) = lim

x→±∞

2

π

a r c s in

2 x

x

2

+ 1

= lim

x→±∞

2

π

a r c s in

2
x

1 +

1

x

2

=

2

π

a r c s in 0 = 0 .

P o c h o d n a :

f

′

( x) =

2

π

·

1

1 −

4x

2

(x

2

+1)

2

·

2 ( x

2

+ 1 ) − 2 x · 2 x
( x

2

+ 1 )

2

=

2

π

·

2 x

2

+ 2 − 4 x

2

√

x

4

+ 2 x

2

+ 1 − 4 x

2

· ( x

2

+ 1 )

=

2

π

·

2 − 2 x

2

( x

2

+ 1 )

( x

2

− 1 )

2

=

4

π

·

1 − x

2

( x

2

+ 1 ) |x

2

− 1 |

.

D z ie d z in a p o c h o d n e j: D

f

′

= R \ {−1 , 1 }.

P u n kt y ” p o d e jr z a n e ” o e ks t r e m u m

lo ka ln e fu n kc ji f t o

x

1

= −1 o r a z x

2

= 1 .

D la

x ∈ ( −1 , 1 ) m a m y f

′

( x) =

4

π

·

1−x

2

(x

2

+1)(−x

2

+1)

=

4

π

·

1

x

2

+1

> 0 .

D la

x ∈ ( −∞, −1 ) ∪ ( 1 , ∞) m a m y f

′

( x) =

4

π

·

1−x

2

(x

2

+1)(x

2

−

1)

=

4

π

·

−

1

x

2

+1

< 0 .

Fu n kc ja f r o ´s n ie w p r z e d z ia le

( −1 , 1 ) , m a le je w ( −∞, −1 ) o r a z m a le je w ( 1 , ∞) .

Os i¸a g a m in im u m

d la

x

1

= −1 , a m a ks im u m d la x

2

= 1 .

D la

x ∈ ( −1 , 1 ) m a m y f

′′

( x) =

4

π

·

1

x

2

+1

′

=

4

π

·

−

2x

(x

2

+1)

2

.

D la

x ∈ ( −∞, −1 ) ∪ ( 1 , ∞) m a m y f

′′

( x) =

4

π

·

−

1

x

2

+1

′

=

4

π

·

2x

(x

2

+1)

2

.

W ykr e s fu n kc ji je s t wi¸e c wyp u kly w p r z e d z ia la c h

( −1 , 0 ) o r a z ( 1 , ∞) , a wkl¸e s ly w

( −∞, −1 ) o r a z ( 0 , 1 ) . P r z y p r z e j´s c iu p r z e z x

1

= −1 , x

2

= 1 o r a z x

3

= 0 p o c h o d n a

f

′′

z m ie n ia z n a k, z a t e m

m a m y t r z y p u n kt y p r z e g i¸e c ia : ( −1 , −1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) .