1

Zastosowania geometryczne całki oznaczonej

(A)

Pole obszararu płaskiego

|P | =

b

Z

a

|f (x)| dx

Założenie: funkcja

f (x)

jest ciągła dla

x ∈ [a, b]

.

2

|P | =

d

Z

c

|f (y)| dy

Założenie: funkcja

f (y)

jest ciągła dla

y ∈ [c, d]

.

3

|P | =

b

Z

a

( f (x) − g(x) ) dx

Założenie: funkcje

f (x)

i

g(x)

są ciągłe dla

x ∈ [a, b]

oraz dla

każdego

x ∈ [a, b] f (x) > g(x)

.

4

|P | =

d

Z

c

( f (y) − g(y) ) dy

Założenie: funkcje

f (y)

i

g(y)

są ciągłe dla

y ∈ [c, d]

oraz dla

każdego

y ∈ [c, d] f (y) > g(y)

.

5

Przykład Oblicz pola obszarów ograniczonych wykresami funkcji:

a)

y = arctg x,

y = 1 − e

x

,

x = 1

b)

y = ln x,

y = −1,

y = 1,

x = 0

(B)

Krzywa płaska zadana parametrycznie

Definicja

Zbiór punktów płaszczyzny

(x, y) ∈ R

2 taki, że











































x = x(t)

t ∈ [t

1

, t

2

]

y = y(t)

gdzie

x(t)

i

y(t)

są funkcjami ciągłymi dla

t ∈ [t

1

, t

2

]

nazywamy krzywą płaską daną parametrycznie.

Punkt

(x(t

1

), y(t

1

))

nazywamy początkiem krzywej, punkt

(x(t

2

), y(t

2

))

- końcem.

6

Przykład

• Prosta przechodząca przez punkt

P (x

0

, y

0

)

i równoległa do

wektora

~a = [a

1

, a

2

]

ma parametryzację:











































x(t) = x

0

+ a

1

t

t ∈ R

y(t) = y

0

+ a

2

t

Jeżeli

y ∈ [t

1

, t

2

]

, to wzór powyższy przedstawia parametryzację

odcinka o początku w punkcie

(x(t

1

), y(t

1

))

i końcu w punkcie

(x(t

2

), y(t

2

))

.

• Odcinek o początku w punkcie

A(x

A

, y

A

)

i końcu w punkcie

B(x

B

, y

B

)

ma parametryzację:











































x(t) = x

A

+ (x

B

− x

A

) t

t ∈ [0, 1]

y(t) = y

A

+ (y

B

− y

A

) t

7

• Okrąg o środku w punkcie

P (x

0

, y

0

)

i promieniu

R > 0

ma

parametryzację:











































x(t) = x

0

+ R cos t

t ∈ [0, 2π]

y(t) = y

0

+ R sin t

• Elipsa o równaniu

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1

ma parametryzację:











































x(t) = a cos t

t ∈ [0, 2π]

y(t) = b sin t

8

(C)

Pole obszaru płaskiego pod krzywą zadaną parametrycznie

|P | =

t

2

Z

t

1

| y(t) · x

0

(t) | dt

Założenie: funkcje

x(t)

,

x

0

(t)

i

y(t)

są ciągłe dla

t ∈ [t

1

, t

2

]

oraz

x

0

(t)

i

y(t)

mają stały znak.

9

Przykład

Oblicz pole obszaru ograniczonego osią OX i krzywą

zadaną parametrycznie

x(t) = t e

t

,

y(t) = t e

−t

,

t ∈ [0, 1]

.

Przykład

Wyprowadź wzór na pole elipsy o półosiach

a

i

b

.

10

(D)

Krzywa płaska we współrzędnych biegunowych

Współrzędne biegunowe

(r, ϕ)

:











































x = r cos ϕ

r ∈ [0, +∞)

y = r sin ϕ

ϕ ∈ [0, 2π]

r

2

= x

2

+ y

2

11

Przykład Zapisz równania krzywych we współrzędnych biegunowych:

a)

x

2

+ y

2

= R

2

b)

( x

2

+ y

2

)

2

= a

2

( x

2

− y

2

),

a > 0

12

(E)

Pole obszaru płaskiego pod krzywą zadaną we współrzędnych

biegunowych

|P | =

1

2

β

Z

α

r

2

(ϕ) dϕ

Założenie: funkcja

r(ϕ)

jest ciągła i nieujemna dla

ϕ ∈ [α, β]

.

Przykład

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą z punktu b)

z poprzedniego przykładu.

13

(F)

Długość łuku wykresu funkcji

|L| =

b

Z

a

v
u
u
t

1 + (f

0

(x))

2

dx

Założenie: funkcje

f (x)

i

f

0

(x)

są ciągłe dla

x ∈ [a, b]

.

Przykład Oblicz długość łuku wykresu funkcji

f (x) =

x

2

4

−

1
2

ln x

dla

x ∈ [1, e]

.

14

(G)

Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie

|L| =

t

2

Z

t

1

v
u
u
t

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt

Założenie: funkcje

x(t)

,

x

0

(t)

,

y(t)

i

y

0

(t)

są ciągłe dla

t ∈ [t

1

, t

2

]

.

15

Przykład

Oblicz długość łuku krzywej zadanej dla

t ∈ [−4, −1]

parametrycznie:















































x(t) =

t

R

−2

cos z

z

dz

y(t) =

3

R

t

sin z

z

dz

16

(H)

Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych

|L| =

β

Z

α

v
u
u
t

(r(ϕ))

2

+ (r

0

(ϕ))

2

dϕ

Założenie: funkcje

r(ϕ)

i

r

0

(ϕ)

są ciągłe dla

ϕ ∈ [α, β]

.

Przykład

Oblicz

długość

łuku

krzywej

o

równaniu

r(ϕ) = a(1 + cos ϕ)

, gdzie

a > 0

i

ϕ ∈ [0, 2π]

.

17

(I)

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji

dookoła osi 0X

|V | = π

b

Z

a

(f (x))

2

dx

Założenie: funkcja

f (x)

jest ciągła dla

x ∈ [a, b]

.

18

Przykład

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wykresu

funkcji

f (x) =

1

√

x

2

− 3x + 2

dookoła osi 0X dla

x ∈ [3, 4]

.

Przykład Wyprowadź wzór na objętość stożka ściętego, powstałego

przez obrót prostej

f (x) = cx

dookoła osi 0X dla

x ∈ [a, b]

,

gdzie stałe

a, b, c > 0

.

(J)

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej zadanej

parametrycznie dookoła osi 0X

|V | = π

t

2

Z

t

1

(y(t))

2

· | x

0

(t) | dt

19

Założenie: funkcje

x(t)

,

x

0

(t)

i

y(t)

są ciągłe dla

t ∈ [t

1

, t

2

]

oraz

x

0

(t)

i

y(t)

mają stały znak.

Przykład

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej

x(t) =

1
2

t

2

+

1
2

t,

y(t) = t

3 dookoła osi 0X dla

t ∈ [0, 1]

(K)

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót

wykresu funkcji dookoła osi 0X

|S| = 2π

b

Z

a

|f (x)|

v
u
u
t

1 + (f

0

(x))

2

dx

Założenie: funkcje

f (x)

i

f

0

(x)

są ciągłe dla

x ∈ [a, b]

.

20

Przykład Wyprowadź wzór na pole powierzchni sfery o promieniu

R

.

(L)

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót

krzywej zadanej parametrycznie dookoła osi 0X

|S| = 2π

t

2

Z

t

1

|y(t)|

v
u
u
t

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt

Założenie: funkcja

x(t), y(t), x

0

(t), y

0

(t)

jest ciągła dla

t ∈

[t

1

, t

2

]

.

21

Przykład

Oblicz pole powierzchni powstałej przez obrót dookoła

osi 0X asteroidy:











































x(t) = a cos

3

t

t ∈ [0, 2π]

y(t) = a sin

3

t

Przykład

• Oblicz pole obszaru zawartego pomiędzy krzywą

f (x) =

1

5

√

(x−3)

2

oraz prostymi

x = 3,

x = 4,

y = 0

.

• Oblicz długość łuku wykresu funkcji:

f (x) = arcsin x +

s

1 − x

2

.

• Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi 0X

krzywej

f (x) = ln x

dla

0

6 x 6 1

.

22

• Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi 0X

krzywej

f (x) = x e

−x

dla

x > 0

.

• Oblicz pole obszaru zawartego pomiędzy krzywą

f (x) =

1

1+x

2

a osią 0X.

• Krzywa

f (x) =

1

x , gdzie

1

6 x 6 +∞

obraca się wokół

osi 0X. Wykazać następujący pardoksalny fakt: pole uzyskanej

powierzchni obrotowej wynosi

+∞

zaś objętość bryły ograniczonej

tą powierzchnią wynosi tylko

π

.