1

Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Zastosowania całki potrójnej w mechanice

Niech % = %(x, y, z) będzie dana ciągłą gęstością masy bryły V .

• Masa obszaru normalnego V ⊂ R

3

:

M

def

=

Z

Z

V

Z

%(x, y, z) dV,

( dV = dxdydz )

• Momenty statyczne bryły V względem płaszczyzn układu:

M

XY

def

=

Z

Z

V

Z

z %(x, y, z) dV,

M

XZ

def

=

Z

Z

V

Z

y %(x, y, z) dV,

M

Y Z

def

=

Z

Z

V

Z

x %(x, y, z) dV,

• Współrzędne środka ciężkości:

x

c

def

=

M

Y Z

M

=

1

M

Z

Z

V

Z

x %(x, y, z) dV,

y

c

def

=

M

XZ

M

=

1

M

Z

Z

V

Z

y %(x, y, z) dV,

z

c

def

=

M

XY

M

=

1

M

Z

Z

V

Z

z %(x, y, z) dV,

• Momenty bezwładności bryły V względem osi układu:

I

X

def

=

Z

Z

V

Z

%(x, y, z) ( y

2

+ z

2

) dV,

I

Y

def

=

Z

Z

V

Z

%(x, y, z) ( x

2

+ z

2

) dV,

I

Z

def

=

Z

Z

V

Z

%(x, y, z) ( x

2

+ y

2

) dV,

• Moment bezwładności bryły V względem początku układu:

I

O

def

=

Z

Z

V

Z

%(x, y, z) ( x

2

+ y

2

+ z

2

) dV,