Wydział: WiLiŚ, Budownictwo, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Całka potrójna

Zad.1 Oblicz całkę potrójnę po obszarze V ograniczonym danymi powierzchniami:

1.1

R R

V

R

(x

2

+ y

2

) dxdydz

V :







x = 0, y = 0, z = 0,

y = 3, x + z = 3

1.2

R R

V

R

(2x + 3y − z) dxdydz

V :







x = 0, y = 0, z = 0,

z = 3, x + y = 2

1.3

R R

V

R

z dxdydz

V :







y = 1, y = x

2

,

z = 0, z = 2

1.4

R R

V

R

xyz dxdydz

V :







x = y

2

, y = x

2

,

z = −1, z = 0

1.5

R R

V

R

dxdydz

V :







x = 0, y = 0, z = 0,

2x + y = 4, z = 4 − x

2

1.6

R R

V

R

y cos(x + z) dxdydz

V :







y =

√

x, y = 0,

z = 0, x + z =

π

2

Zad.2 Stosując zamianę zmiennych w całce potrójnej oblicz całkę po obszarze V ograniczonym danymi powierzchni-

ami:

2.1

R R

V

R

p

x

2

+ y

2

dxdydz

V :







z = 4,

x

2

+ y

2

= z

2

2.2

R R

V

R

z dxdydz

V :







x

2

+ y

2

= z,

x

2

+ y

2

= z

2

2.3

R R

V

R

(x

2

+ y

2

) dxdydz

V :







p

x

2

+ y

2

= z,

x

2

+ y

2

+ z

2

= 8

2.4

R R

V

R

y dxdydz

V :







z = 0,

4x

2

+ y

2

= −z + 4

2.5

R R

V

R

z

2

dxdydz

V :

n

x

2

+ y

2

+ z

2

= 16

2.6

R R

V

R

dxdydz

x

2

+y

2

+z

2

V :







x

2

+ y

2

+ z

2

= 1,

x

2

+ y

2

+ z

2

= 9

2.7

R R

V

R



x

2

+

y

2

4

+ z

2



dxdydz

V :

n

x

2

+

y

2

4

+ z

2

= 1

Zad.3 Korzystając z całki potrójnej oblicz objętość bryły V ograniczonej danymi powierzchniami:

3.1 x = 0, x = 5, y = 0, y = 3, z = 0, x + y + z = 8

3.2 x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 4, z = 1 + x

2

+ y

2

3.3 x = 0, y = 1, y = 2x, z = 0, z = −x

2

− y

2

3.4 z = 0, z = 3 − x, y

2

= 3x

3.5 y = x, y = x

2

, z = 0, z = 2x

2

+ y

2

− 8

3.6 z = 6 − x

2

− y

2

, z =

p

x

2

+ y

2

3.7 z =

p

36 − x

2

− y

2

, 9z = x

2

+ y

2

3.8 z = 0, z = x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

= 2x

3.9 z = 0, 4z = 16 − x

2

− y

2

, x

2

+ y

2

= 4

3.10 z = 3 + 12(x

2

+ y

2

), z = 3 − 24x

3.11

x

2

9

+

y

2

16

= 1, z = 0, x + z = 8

3.12 z = 0,

x

2

9

+ y

2

= 1, z = e

−(

x2

9

+y

2

)

3.13 z =

p

x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

+ z

2

= 8

3.14 3z

2

= x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

+ z

2

= 4

Zad.4 Korzystając z całki potrójnej oblicz masę bryły V , ograniczonej danymi powierzchniami, o gęstości %:

4.1 x = 0, x = 1, y = 0, y = 3, z = 0, z = 2, %(x, y, z) = x + y + z

4.2 x

2

+ y

2

= 4, z = 0, z = 2

p

x

2

+ y

2

, %(x, y, z) = x

2

+ y

2

4.3 x

2

+ y

2

= 2x, z = 0, z = 1, %(x, y, z) = z

p

x

2

+ y

2

4.4 x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, z = x + 2y %(x, y, z) = 3 + 2x + 2y − 2z

Zad.5 Znajdź współrzędne środka ciężkości jednorodnych brył ograniczonych powierzchniami:

5.1 x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 9

5.2 x

2

+

y

2

9

= z

2

, z = 3

5.3 x

2

+ y

2

= 1, z = 0, z = 1 + x

2

5.4 x

2

+ y

2

+ z

2

= 9, x

2

+ y

2

+ z

2

= 16,

dla

z > 0

Zad.6 Wyznaczyć moment bezwładności względem osi OZ jednorodnej bryły danej nierównościami: x

2

+y

2

+z

2

6 25 ,

x

2

+ y

2

> 16 oraz z > 0.

Zad.7 Dana jest jednorodna bryła ograniczona powierzchniami: x

2

+ y

2

= 2 , x

2

+ y

2

= z oraz płaszczyzną z = 0.

Oblicz moment bezwładności tej bryły względem jej osi obrotu.

Zad.8 Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny OXY części jednorodnej kuli x

2

+ y

2

+ z

2

6 2 leżącej między

płaszczyznami z = 0 i z = 1.

Zad.9

Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny OXZ jednorodnej bryły zawartej między płaszczyznami

układu współrzędnych i płaszczyzną 2x + 2y + z = 2.

Zad.10

Obliczyć moment bezwładności względem początku układu współrzędnych bryły o stałej gęstości

%

danej

nierównościami x

2

+ y

2

+ z

2

6 R

2

i

x

2

+ y

2

6 z

2

.