Całka oznaczona i jej zastosowania

ZiE, sem.II, 2008-09

mgr K. Kujawska, SNM

Zad.1 Obliczyć całki oznaczone:

1

e

1

ln x

1.1 ∫ ( 5

e x + 5

2 x ) dx

1.2 ∫

dx

1.3 ∫ (2 x − 4

)

1 dx

x

−1

1

0

π 3

1

0

sin 2 x

arctgx

1.4 ∫

dx

1.5 ∫

dx

1.6 ∫ ln 1

( − x) dx

2

+ 2

1

x

0

1 + sin x

0

−2

π 4

2

3

2008

3 − x

1.7 ∫

2

cos x sin xdx

1.8

x

⋅ log

dx

∫

1.9 ∫ 2

x ⋅ 2 x dx

3 + x

0

−2

1

1

e

1

1

1.10 ∫

2

x x dx

1.11 ∫ x ln x dx

1.12 ∫

dx .

1 +

−

x

1

1

0

e

Zad.2 Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: 2.1

2

y = 5 x , y = x 2.2

3

y = x , x = 0 , y = 8

2.3 y = ex , y = 0 , x = 1

− , x = 2

2.4 y = 4 − x 2 , y = x 2 − 2 x 2

2.5

2

y = x + 4 x , x − y + 4 = 0

2.6 y = x + 2 ,

2

y = x , y =

(dla x>0)

x +1

π

2.7

2

y = ln x , y = 0 , x = e 2.8 y = sin x ,

2

y = x + 2 , y = 3

− x , x =

2

2.9

2

2

y = x , x = y 2.10 y = log x , y = log x , x = 16

4

0,5

2.11

2

y =

−

x ,

2

y = x

, y = 0 , x = 1

− , x = 2

2.12 xy = 6 , x + y = 7

2.13 2

x ⋅ y = 1 , y = 4 , y = 9

2.14 y = arcsin x , y = arccos x , y = 0 .

Zad.3 Obliczyć długość łuku krzywej: 1

3

1

3.1 f ( x) = x 2 − ln x , x ∈< , 1 e >

3.2 f ( x) = x +

, x ∈< ,

1 2 >

8

12 x

x

− x

1

3.3 f ( x) = 2

e +

2

e

, x ∈< − ,

6 6 >

3.4 f ( x) =

( 2

x − 2 ln x) , x ∈< , 1 2 >

4

π π

π π

3.5 f ( x) = 3 − ln cos x , x ∈

,

3.6 f ( x) = 1 − ln sin x , x ∈

,

6 3

3 2

2

1

3.7 f ( x) = arcsin x + x − x , x ∈

1

,

3.8 f ( x) = ln x , x ∈ , 1

3 .

4

Zad.4 Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót danej krzywej dokoła osi OX: π

π

1

4.1 f ( x) = ctgx ,

≤ x ≤

4.2 f ( x) =

, 3 ≤ x ≤ 4

4

2

2

x − 3 x + 2

−3

4.3 f ( x) =

x − 3 , x ∈< ,

4 6 >

4.4 f ( x) =

, x ∈< ,

1 4 > .

x

Zad.5 Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót danej krzywej dokoła osi OX: 5.1 f ( x) =

x , x ∈< ,

1 2 >

5.2 f ( x) = 3 x + 2 , x ∈< , 1 2 >

3

x

5.3 f ( x) = 4 − 2

x , x ∈< ,

0 2 >

5.4 f ( x) =

, x ∈< − 1

,

1 > .

3