Całka oznaczona i jej zastosowania
ZiE, sem.II, 2008-09
mgr K. Kujawska, SNM
Zad.1 Obliczyć całki oznaczone:
1
e
1
ln x
1.1 ∫ ( 5
e x + 5
2 x ) dx
1.2 ∫
dx
1.3 ∫ (2 x − 4
)
1 dx
x
−1
1
0
π 3
1
0
sin 2 x
arctgx
1.4 ∫
dx
1.5 ∫
dx
1.6 ∫ ln 1
( − x) dx
2
+ 2
1
x
0
1 + sin x
0
−2
π 4
2
3
2008
3 − x
1.7 ∫
2
cos x sin xdx
1.8
x
⋅ log
dx
∫
1.9 ∫ 2
x ⋅ 2 x dx
3 + x
0
−2
1
1
e
1
1
1.10 ∫
2
x x dx
1.11 ∫ x ln x dx
1.12 ∫
dx .
1 +
−
x
1
1
0
e
Zad.2 Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: 2.1
2
y = 5 x , y = x 2.2
3
y = x , x = 0 , y = 8
2.3 y = ex , y = 0 , x = 1
− , x = 2
2.4 y = 4 − x 2 , y = x 2 − 2 x 2
2.5
2
y = x + 4 x , x − y + 4 = 0
2.6 y = x + 2 ,
2
y = x , y =
(dla x>0)
x +1
π
2.7
2
y = ln x , y = 0 , x = e 2.8 y = sin x ,
2
y = x + 2 , y = 3
− x , x =
2
2.9
2
2
y = x , x = y 2.10 y = log x , y = log x , x = 16
4
0,5
2.11
2
y =
−
x ,
2
y = x
, y = 0 , x = 1
− , x = 2
2.12 xy = 6 , x + y = 7
2.13 2
x ⋅ y = 1 , y = 4 , y = 9
2.14 y = arcsin x , y = arccos x , y = 0 .
Zad.3 Obliczyć długość łuku krzywej: 1
3
1
3.1 f ( x) = x 2 − ln x , x ∈< , 1 e >
3.2 f ( x) = x +
, x ∈< ,
1 2 >
8
12 x
x
− x
1
3.3 f ( x) = 2
e +
2
e
, x ∈< − ,
6 6 >
3.4 f ( x) =
( 2
x − 2 ln x) , x ∈< , 1 2 >
4
π π
π π
3.5 f ( x) = 3 − ln cos x , x ∈
,
3.6 f ( x) = 1 − ln sin x , x ∈
,
6 3
3 2
2
1
3.7 f ( x) = arcsin x + x − x , x ∈
1
,
3.8 f ( x) = ln x , x ∈ , 1
3 .
4
Zad.4 Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót danej krzywej dokoła osi OX: π
π
1
4.1 f ( x) = ctgx ,
≤ x ≤
4.2 f ( x) =
, 3 ≤ x ≤ 4
4
2
2
x − 3 x + 2
−3
4.3 f ( x) =
x − 3 , x ∈< ,
4 6 >
4.4 f ( x) =
, x ∈< ,
1 4 > .
x
Zad.5 Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót danej krzywej dokoła osi OX: 5.1 f ( x) =
x , x ∈< ,
1 2 >
5.2 f ( x) = 3 x + 2 , x ∈< , 1 2 >
3
x
5.3 f ( x) = 4 − 2
x , x ∈< ,
0 2 >
5.4 f ( x) =
, x ∈< − 1
,
1 > .
3