Całka oznaczona i jej zastosowania

ZiE, sem.II, 2008-09

mgr K. Kujawska, SNM

Zad.1 Obliczyć całki oznaczone:

1.1

(

)

∫

−

+

1

1

5

5

2

dx

x

e

x

1.2

∫

e

dx

x

x

1

ln

1.3

∫

−

1

0

4

)

1

2

(

dx

x

1.4

∫

+

3

0

2

sin

1

2

sin

π

dx

x

x

1.5

∫

+

1

0

2

1

dx

x

arctgx

1.6

∫

−

−

0

2

)

1

ln(

dx

x

1.7

∫

4

0

2

sin

cos

π

xdx

x

1.8

dx

x

x

x

∫

−

+

−

⋅

2

2

2008

3

3

log

1.9

∫

⋅

3

1

2

2 dx

x

x

1.10

∫

−

1

1

2

dx

x

x

1.11

∫

e

e

dx

x

x

1

ln

1.12

∫

+

1

0

1

1

dx

x

.

Zad.2 Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:

2.1

2

,

5

x

y

x

y

=

=

2.2

8

,

0

,

3

=

=

=

y

x

x

y

2.3

2

,

1

,

0

,

=

−

=

=

=

x

x

y

e

y

x

2.4

x

x

y

x

y

2

,

4

2

2

−

=

−

=

2.5

0

4

,

4

2

=

+

−

+

=

y

x

x

x

y

2.6

1

2

,

,

2

2

+

=

=

+

=

x

y

x

y

x

y

(dla x>0)

2.7

2

,

0

,

ln

e

x

y

x

y

=

=

=

2.8

2

,

3

,

2

,

sin

2

π

=

−

=

+

=

=

x

x

y

x

y

x

y

2.9

2

2

,

y

x

x

y

=

=

2.10

16

,

log

,

log

5

,

0

4

=

=

=

x

x

y

x

y

2.11

2

,

1

,

0

,

,

2

2

=

−

=

=

=

=

−

x

x

y

x

y

x

y

2.12

7

,

6

=

+

=

y

x

xy

2.13

9

,

4

,

1

2

=

=

=

⋅

y

y

y

x

2.14

0

,

arccos

,

arcsin

=

=

=

y

x

y

x

y

.

Zad.3 Obliczyć długość łuku krzywej:

3.1

>

∈<

−

=

e

x

x

x

x

f

,

1

,

ln

8

1

)

(

2

3.2

>

∈<

+

=

2

,

1

,

12

1

)

(

3

x

x

x

x

f

3.3

>

−

∈<

+

=

−

6

,

6

,

)

(

2

2

x

e

e

x

f

x

x

3.4

>

∈<

−

=

2

,

1

,

)

ln

2

(

4

1

)

(

2

x

x

x

x

f

3.5

3

,

6

,

cos

ln

3

)

(

π

π

∈

−

=

x

x

x

f

3.6

2

,

3

,

sin

ln

1

)

(

π

π

∈

−

=

x

x

x

f

3.7

1

,

4

1

,

arcsin

)

(

2

∈

−

+

=

x

x

x

x

x

f

3.8

3

,

1

,

ln

)

(

∈

=

x

x

x

f

.

Zad.4 Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót danej krzywej dokoła osi OX:

4.1

2

4

,

)

(

π

π

≤

≤

=

x

ctgx

x

f

4.2

4

3

,

2

3

1

)

(

2

≤

≤

+

−

=

x

x

x

x

f

4.3

>

∈<

−

=

6

,

4

,

3

)

(

x

x

x

f

4.4

>

∈<

−

=

4

,

1

,

3

)

(

x

x

x

f

.

Zad.5 Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót danej krzywej dokoła osi OX:

5.1

>

∈<

=

2

,

1

,

)

(

x

x

x

f

5.2

>

∈<

+

=

2

,

1

,

2

3

)

(

x

x

x

f

5.3

>

∈<

−

=

2

,

0

,

4

)

(

2

x

x

x

f

5.4

>

−

∈<

=

1

,

1

,

3

)

(

3

x

x

x

f

.