Politechnika Wrocławska
Wydział Budownictwa
Lądowego i Wodnego
Laboratorium z Konstrukcji Metalowych
Pomiar ugięć elementów
zginanych
Prowadzący: Wykonali:
dr inż. Jan Rządkowski Krzysztof Michalak
Elżbieta Pawlik
Tomasz Juszczak
Aleksander Korcz
Rok IV gr.KB1
Rok akad. 2000/2001
1.Dane wyjściowe:
W doświadczeniu badano ugięcie belki stalowej IPE 100 umieszczonej na stanowisku pomiarowym i obciążonej dwoma siłami skupionymi. Do pomiarów przemieszczeń użyto pięciu czujników zegarowych rozmieszczonych jak na rys. nr 1. Zmierzona rozpiętość pomiędzy podporami wynosi 2400 mm, a siły skupione są przyłożone w odległości 1050 mm od podpór w kierunku środka belki. Czujniki zegarowe umieszczono na podporach, w środku rozpiętości belki oraz w środku dwa w celu pomiaru zwichrzenia belki zginanej. Zmiana obciążenia szalki następuje w granicach od 0 do 800 kg co 100 kg przy obciążaniu jak i przy odciążaniu.
Dane:L=240cmWx=34,2cm3
Ix=171cm4Ciężar jarzma=27,5kg
Ciężar szalki=39,4kg
Suma ciężarów=66,9kg
2.Pomiar ugięcia belki:
Pomiaru dokonano w środku rozpiętości belki i porównano z wynikami z obliczeń teoretycznych ze wzoru:
gdzie:
l - rozpiętość belki między podporami
l = 240 cm
a - odległość sił skupionych od podpór
a = 105cm
Obciążenie szalki |
Obciążenie całkowite |
Odczyt czujnika |
Ugięcie zmierzone |
Siła P |
Ugięcie obliczone |
Różnica |
[kg] |
[kg] |
[mm] |
[mm] |
[kN] |
[mm] |
[%] |
0,00 |
66,90 |
6,22 |
0,00 |
0,33 |
-0,527 |
100,00 |
100,00 |
166,90 |
5,37 |
-0,85 |
0,82 |
-1,315 |
35,36 |
200,00 |
266,90 |
4,54 |
-1,68 |
1,31 |
-2,103 |
20,11 |
300,00 |
366,90 |
3,71 |
-2,51 |
1,80 |
-2,891 |
13,17 |
400,00 |
466,90 |
2,90 |
-3,32 |
2,29 |
-3,678 |
9,75 |
500,00 |
566,90 |
2,12 |
-4,10 |
2,78 |
-4,466 |
8,20 |
600,00 |
666,90 |
1,22 |
-5,00 |
3,27 |
-5,254 |
4,84 |
700,00 |
766,90 |
0,32 |
-5,90 |
3,76 |
-6,042 |
2,35 |
800,00 |
866,90 |
0,07 |
-6,15 |
4,25 |
-6,830 |
9,95 |
700,00 |
766,90 |
0,30 |
-5,92 |
3,76 |
-6,042 |
2,02 |
600,00 |
666,90 |
1,17 |
-5,05 |
3,27 |
-5,254 |
3,89 |
500,00 |
566,90 |
2,02 |
-4,20 |
2,78 |
-4,466 |
5,96 |
400,00 |
466,90 |
2,85 |
-3,37 |
2,29 |
-3,678 |
8,39 |
300,00 |
366,90 |
3,66 |
-2,56 |
1,80 |
-2,891 |
11,44 |
200,00 |
266,90 |
4,49 |
-1,73 |
1,31 |
-2,103 |
17,73 |
100,00 |
166,90 |
5,32 |
-0,90 |
0,82 |
-1,315 |
31,56 |
0,00 |
66,90 |
6,18 |
-0,04 |
0,33 |
-0,527 |
92,41 |
Różnica:
Obciążenie |
|
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
Ugięcie doświadczalne |
|
-0,02 |
-0,875 |
-1,705 |
-2,535 |
-3,345 |
-4,15 |
-5,025 |
-5,91 |
-6,15 |
Ugięcie teoretyczne |
|
-0,527 |
-1,315 |
-2,103 |
-2,891 |
-3,678 |
-4,466 |
-5,254 |
-6,042 |
-6,83 |
3. Zestawienie wyników oraz wykresy zależności przemieszczenia od zmiany obciążenia w pozostałych punktach pomiarowych
obciążenie szalki |
odczyt z czujnika 1 |
odczyt z czujnika 3 |
odczyt z czujnika 4 |
odczyt z czujnika 5 |
przem. na podporze A |
przem. na podporze B |
przem. pasa górnego |
przem. pasa dolnego |
[kg] |
[mm] |
[mm] |
[mm] |
[mm] |
[mm] |
[mm] |
[mm] |
[mm] |
0 |
5,5 |
3,46 |
5,41 |
5,14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
100 |
5,49 |
3,42 |
5,5 |
5,24 |
-0,01 |
-0,04 |
0,09 |
0,1 |
200 |
5,47 |
3,4 |
5,73 |
5,36 |
-0,03 |
-0,06 |
0,32 |
0,22 |
300 |
5,45 |
3,37 |
5,94 |
5,53 |
-0,05 |
-0,09 |
0,53 |
0,39 |
400 |
5,43 |
3,35 |
6,23 |
5,64 |
-0,07 |
-0,11 |
0,82 |
0,5 |
500 |
5,42 |
3,32 |
6,77 |
5,94 |
-0,08 |
-0,14 |
1,36 |
0,8 |
600 |
5,41 |
3,31 |
7,25 |
6,15 |
-0,09 |
-0,15 |
1,84 |
1,01 |
700 |
5,41 |
3,29 |
8,2 |
7,46 |
-0,09 |
-0,17 |
2,79 |
2,32 |
800 |
5,4 |
3,27 |
8,78 |
7,79 |
-0,1 |
-0,19 |
3,37 |
2,65 |
700 |
5,4 |
3,27 |
8,6 |
6,39 |
-0,1 |
-0,19 |
3,19 |
1,25 |
600 |
5,4 |
3,27 |
7,2 |
6,02 |
-0,1 |
-0,19 |
1,79 |
0,88 |
500 |
5,4 |
3,28 |
6,68 |
5,77 |
-0,1 |
-0,18 |
1,27 |
0,63 |
400 |
5,41 |
3,28 |
6,25 |
5,52 |
-0,09 |
-0,18 |
0,84 |
0,38 |
300 |
5,42 |
3,31 |
5,9 |
5,45 |
-0,08 |
-0,15 |
0,49 |
0,31 |
200 |
5,46 |
3,32 |
5,63 |
5,2 |
-0,04 |
-0,14 |
0,22 |
0,06 |
100 |
5,48 |
3,36 |
5,4 |
5,08 |
-0,02 |
-0,1 |
-0,01 |
-0,06 |
0 |
5,49 |
3,42 |
5,21 |
5 |
-0,01 |
-0,04 |
-0,2 |
-0,14 |
4.Wnioski:
Prosta przedstawiająca ugięcie belki wyznaczona doświadczalnie ma większy kąt nachylenia do osi poziomej od kąta nachylenia prostej ugięcia wyliczonego ze wzoru. Różnica ta może wynikać z błędu stałych E i Ix, których wartość podstawiona do wzoru morze odbiegać od rzeczywistej. Różnica pomiędzy wynikami doświadczalnymi, a teoretycznymi waha się w granicach miedzy 0% -10% za wyjątkiem pomiarów przy obciążeniu samą szalką, gdzie wartość teoretyczna jest bardziej poprawna ze względu na brak pomiarów ugięcia w schemacie bez obciążenia szalką i jarzmem.
Przemieszczenie pasów w środku belki wskazuje na przesunięcie się przekroju, co może być spowodowane niesymetrycznym obciążeniem lub podatnością podpór.
Na podporze B wyniki wskazywałyby na przemieszczenie belki jednak w rzeczywistości jest to winą złego ułożenia czujnika, który nie był postawiony w środku przekroju dokładnie nad podporą. Stąd też minimalne przemieszczenia na podporze A.
Politechnika Wrocławska
Wydział Budownictwa
Lądowego i Wodnego
Laboratorium z Konstrukcji Metalowych
Wyznaczenie częstości drgań własnych poprzecznych
Prowadzący: Wykonali:
dr inż. Jan Rządkowski Krzysztof Michalak
Elżbieta Pawlik
Tomasz Juszczak
Aleksander Korcz
Rok IV gr.KB1
Rok akad. 2000/2001
Wstęp teoretyczny
Drgania poprzeczne zginające
Równanie opisujące swobodne poprzeczne drgania nietłumione ważkiej belki o stałym przekroju:
E - moduł Younga
Ix - moment bezwładności przekroju poprzecznego
q - ciężar pręta na jednostkę długości
g - przyspieszenie ziemskie
t - czas
w(z,t) - poprzeczne odkształcenie pręta zależne od czasu (rys.1)
Rys.1 Schemat zginania belki
Rozwiązania równania (1) najlepiej poszukać jako sumy całek szczególnych w postaci funkcji o rozdzielonych zmiennych.
w(z,t)=Z(z)·T(t)
co prowadzi do równań:
gdzie:
Ostateczne rozwiązanie ma postać:
Ugięcie:
w(z,t)=(Asin(kz)+Bcos(kz)+Csinh(kz)+Dcosh(kz))·T(t)
Moment:
Po podstawieniu warunków brzegowych, które dla pręta o długości l swobodnie podpartego na obu końcach wynoszą:
w =0
M =0
Otrzymuje się warunek:
sin(kl)=0 => kl=π,2π,...,nπ (n=1,2,...)
Wobec tego częstości drgań własnych (ze wzoru 2) wynoszą:
Rys.2 Kilka postaci drgań harmonicznych belki swobodnie podpartej
W podobny sposób jak wyznaczono częstość drgań dla belki swobodnie podpartej można również wyznaczyć częstości innych belek:
dla pręta obustronnie utwierdzonego
- dla wspornika
Drgania wymuszone
Równanie opisujące wymuszone drgania giętne belki:
Opisując rozwiązanie do drgań wywołanych siłą o postaci:
p(z,t)=Posinωt
przyłożoną w odległości a od lewej podpory, z równania (4) otrzymujemy następującą postać ustalonych drgań wymuszonych:
Gdy częstość drgań własnych zbliżona jest do częstości wymuszenia to ugięcie belki wg wzoru (5) dąży do nieskończoności. Jest to przypadek zilustrowany ciągła linią na Rys.3. W rzeczywistości nie obserwuje się takiego zachowania belki. Ograniczone ugięcie spowodowane jest tłumieniem, którego w tych rozważaniach nie uwzględniono. Rzeczywiste zmiany amplitudy zaznaczone są liniami przerywanymi na rysunku 3 (dla różnych współczynników tłumienia).
Rys.3. Zmiana amplitud drgań
W konstrukcjach budowlanych tłumienie można zazwyczaj pominąć, ponieważ współczynnik tłumienia jest niewielki, a jego wpływ widoczny jest dopiero w bezpośredniej bliskości rezonansu (nie jest to dopuszczalne w budownictwie). Poza tym wartość tłumienia, a raczej czułość ustroju na tłumienie maleje ze wzrostem liczby stopni swobody.
Metody praktycznego wyznaczania częstości lub okresu drgań własnych.
Wyznaczanie częstości giętnych drgań własnych belki metodą rezonansu.
Metoda rezonansu polega na wymuszaniu drgań belki siłą o regulowanej częstości kołowej ω i obserwacji amplitudy drgań wymuszonych. Dla maksymalnej wartości amplitudy mierzymy liczbę obrotów układu wymuszającego otrzymując w ten sposób częstość drgań własnych belki. Okres drgań własnych obliczamy ze wzoru:
T=n-1
gdzie:
n - liczba obrotów mimośrodu
Wyznaczanie częstości giętnych drgań własnych metodą rejestracji przebiegu drgań.
Metoda ta polega na wprowadzeniu belki w drganie (np. przez jednorazowy impulsowy nacisk na belkę) oraz na rejestrowaniu drgań. Ta metodą można mierzyć nast. parametry: przemieszczenia (amplituda), prędkość, przyspieszenie, częstotliwość, naprężenie, faza i przemieszczenie kątowe. W budownictwie przy badaniu elementów konstrukcji mierzy się najczęściej przemieszczenie i częstotliwość. Czujniki zastosowane w tej metodzie przetwarzają parametry drgań na zmianę indukcyjności lub automatycznie zapisują potrzebne wielkości na taśmę papierową nawiniętą na wałek.
Przebieg ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie częstości giętnych drgań własnych belki swobodnie podpartej i obciążonej jak na Rys.4:
Rys.4 Schemat stanowiska do badań.
Opis przebiegu ćwiczenia
I 100 PE (Rys.4) obciążono ciężarem 500 kg (Qz)
Q=Qz+Qs+Qj=500+39,4+27,5=566,9kg
gdzie:
Qs - ciężar szalki
Qj - ciężar jarzma
Następnie wychylono belkę z położenia równowagi energicznie naciskając ją z góry i rejestrowano przebieg drgań. W wyniku otrzymano graficzny obraz drgań belki na pasku papierowym dołączonym do sprawozdania.
Analityczne wyznaczenie częstości drgań własnych
Schemat belki:
Częstość własną układu obliczamy ze wzoru:
Pomiar częstości drgań własnych belki w ćwiczeniu laboratoryjnym:
Pomierzony czas Jednego okresu |
Częstość drgań własnych ω=2π/T |
T1=0,15 |
41,89 Hz |
T2=0,16 |
39,27 Hz |
T3=0,17 |
36,96 Hz |
T4=0,18 |
34,91 Hz |
Tsr=0,165 |
38,08 Hz |
Wnioski
W początkowej fazie drgań (zaraz po wzbudzeniu) częstość drgań własnych była zbliżona do częstości obliczonej analitycznie, po upływie ok.1 s częstość ustabilizowała się na poziomie ok.37 Hz. Widoczny jest zatem wpływ tłumienia pominiętego w obliczeniach analitycznych. Pominięto również ciężar własny belki zwiększający liczbę stopni swobody układu z jednego do nieskończoności. Wartość częstości drgań belki otrzymana z doświadczenia wskazuje na to, że zgodnie z PN-92/B-03200 belka taka mogłaby być wykorzystana w budownictwie jako np. belka stropowa.