Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej	Laboratorium fizyki ogólnej
^Wykonał Pirosz Paweł		^Grupa 5	^Ćw. nr 84	^Prowadzący dr Anna Wróbel
Wyznaczanie długości fali świetlnej za pomocą siatki dyfrakcyjnej		^Data wykonania 98.05.04	^Data oddania 98.05.11	^Ocena

CEL ĆWICZENIA:

Zapoznanie się z działaniem siatki dyfrakcyjnej, wyznaczenie stałej siatki dyfrakcyjnej oraz długości fali badanych widm.

WSTĘP:

Spójna wiązka światła przechodząc przez dwie jednakowe szczeliny ulega na nich ugięciu, dając po przejściu przez szczelinę dwie fale spójne interferujące ze sobą. W wyniku interferencji otrzymuje się na ekranie umieszczonym w pewnej odległości za szczelinami jasne i ciemne prążki interferencyjne.

Siatka dyfrakcyjna jest więc powieleniem doświadczenia z dwiema szczelinami. Zasadnicza różnica polega na tym, że zamiast dwóch znajduje się znacznie więcej jednakowych, równoległych szczelin. Z tego powodu przez siatkę dyfrakcyjną przechodzi znacznie więcej światła niż w doświadczeniu Younga. Fale przechodzące przez szczeliny będą w fazie i będą się wzmacniać wszędzie tam, gdzie   m ,przy czym m = 0, ±1, ±2, ±3 - rząd widma,  - długość fali świetlnej. Położenie maksimów dane jest przez dsin_m = m. Jest to równanie siatki dyfrakcyjnej.

Jeżeli światło pada na siatkę dyfrakcyjną pod kątem , to położenie maksimów określa się ze wzoru: d = m Jeżeli d jest odległością między środkami każdej pary dwóch sąsiednich szczelin,  - kątem, jaki tworzy kierunek promienia ugiętego z normalną do powierzchni siatki,  - różnicą dróg między dwoma ugiętymi sąsiednimi promieniami, to sin=/m. Kierunki interferencyjnego wzmacniania się natężeń światła (maksima są określone równaniem siatki dyfrakcyjnej:

W przypadku dyfrakcji na dwóch szczelinach jasne maksima na ekranie są rozdzielone ciemnymi minimami, których kierunki są określone przez warunek określający interferencyjne wygaszenie fal:

W wyniku powiększenia liczby szczelin z dwóch do N, w widmie dyfrakcyjnym na ekranie po obu stronach środkowego maksimum rzędu zerowego, maksima boczne stają się coraz węższe i jaśniejsze, co związane jest z tym, że coraz większa liczba promieni bierze udział w interferencji. Zjawisko to nazywa się interferencją wielopromieniową.

Siatki dyfrakcyjne dzielą się na: transmisyjne i odbiciowe. Siatki transmisyjne to takie, przez które przechodzi światło. Można je uzyskać poprzez nacinanie rys na szkle lub cienkich nieprzezroczystych warstwach, najczęściej metalicznych, nanoszonych na płytki szklane. Innymi metodami uzyskiwania siatek transmisyjnych są metody fotograficzne lub holograficzna, które polegają na bezsoczewkowym fotografowaniu obrazu interferencyjnego dwóch spójnych monochromatycznych fal płaskich, padających pod pewnym kątem względem siebie na specjalną kliszę fotograficzną o bardzo dużej zdolności rozdzielczej. Po wywołaniu takiej kliszy miejsca przezroczyste spełniają rolę szczelin.

W siatkach odbiciowych rysy są nacinane na wypolerowanej powierzchni metalu, a światło padające na miejsca między rysami jest odbijane, dając taki sam rezultat końcowy jak światło przechodzące przez siatkę transmisyjną.

Innym ważnym podziałem siatek dyfrakcyjnych jest podział na siatki amplitudowe i fazowe. Siatka amplitudową nazywamy siatkę z nieprzeźroczystymi obszarami przedzielającymi periodyczne obszary przezroczyste (szczeliny). Siatka fazowa w całym swoim obszarze jest przezroczysta dla światła, a odpowiednikami naprzemiennych obszarów przezroczystych i nieprzezroczystych są obszary zmieniające periodycznie fazę fali świetlnej. Zmianę fali można uzyskać przez zmianę grubości przezroczystego ośrodka lub przez zmianę współczynnika załamania przezroczystego ośrodka. Wśród siatek fazowych najczęściej spotyka się siatkę sinusoidalną i prostokątną. Ważnym parametrem siatek dyfrakcyjnych jest wydajność dyfrakcyjna , którą definiuje się jako stosunek natężenia światła ugiętego w pierwszym rzędzie dyfrakcji do całkowitego natężenia światła padającego na siatkę  = I₁/I₀. Kątowa dyspersja siatki jest miara zdolności siatki do rozszczepiania światła polichromatycznego na wiązki dyskretnych długości fal. Dyspersja kątowa (własność rozszczepiania światła) wzrasta wraz z rzędem widma i jest odwrotnie proporcjonalna do stałej d:

.

Dla małych kątów , cos = 1, co oznacza, że widmo jest w przybliżeniu liniowe, tzn. jednakowym przyrostom kąta odpowiadają jednakowe przyrosty długości fali. Chromatyczna zdolność rozdzielcza siatki jest miarą zdolności rozdzielenia dwóch blisko siebie leżących linii widmowych o długościach fali  i  Zdolność rozdzielczą siatki można przedstawić jako warunek: R =   mN. Zdolność ta jest niezależna od stałej siatki i można ją zwiększyć używając siatki o większej liczbie szczelin lub pracujących w wyższych rzędach dyfrakcji.

PRZEBIEG ĆWICZENIA:

Schemat układu pomiarowego:

O -oświetlacz

M - monochromator

F - filtr interferencyjny

Św - światłowód

E - ekran ze skalą

Sz - szczelina w ekranie ze skalą

Sd - siatka dyfrakcyjna

Ob - oko obserwatora

1. Wyznaczenie stałej siatki dyfrakcyjnej

Aby wyznaczyć stałą siatki dyfrakcyjnej d, należy wiązkę z monochromatora o znanej długości fali  skierować na siatkę dyfrakcyjną. Na ekranie umieszczonym w odległości l od siatki, po lewej i prawej stronie plamki centralnej obserwuje się plamki ±1i ±2 rzędu dyfrakcji. Mierząc ich odległości l_m i p_m od środka plamki centralnej należy wyznaczyć kąt ugięcia Θ_m dla pierwszego i drugiego rzędu dyfrakcji. Korzystamy ze wzoru:

Z równania siatki dyfrakcyjnej wyznaczymy stałą siatki, korzystając z danych dla pierwszego i drugiego rzędu dyfrakcji:

Wyniki pomiarów:

l = (30,0 ± 0,1) cm

l_m = p_m = 0,1 cm - dla każdego pomiaru

Tabela 1. Wyniki pomiaru odległości ugięcia wiązki fali oraz obliczone wartości stałej siatki dyfrakcyjnej
Siatka dyfrakcyjna S1
	1 rząd dyfrakcji							2 rząd dyfrakcji
		lm	pm	sinΘm	sinΘm	d	d	lm		pm	sinΘm	sinΘm	d	d
[ nm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ - ]	[ - ]	[ m ]	[ m ]	[ cm ]		[ cm ]	[ - ]	[ - ]	[ m ]	[ m ]
500	4,3	4,3	0,142	0,004	3,52	0,09	9,0		9,0	0,287	0,004	3,48	0,05
550	4,8	4,8	0,158	0,004	3,48	0,08	9,9		9,9	0,313	0,004	3,51	0,04
600	5,2	5,2	0,171	0,004	3,51	0,08	10,9		10,9	0,341	0,004	3,51	0,04
Wartość średnia d z 1 rzędu dyfrakcji: 3,50 [ m ] Wartość średnia d z 2 rzędu dyfrakcji: 3,50 [ m ]
Siatka dyfrakcyjna S2
500	3,1	3,1	0,103	0,004	4,86	0,17	6,2		6,2	0,202	0,004	4,94	0,09
550	3,3	3,3	0,109	0,004	5,03	0,17	6,8		6,8	0,221	0,004	4,98	0,09
600	3,6	3,6	0,119	0,004	5,04	0,15	7,6		7,6	0,246	0,004	4,89	0,08
Wartość średnia d z 1 rzędu dyfrakcji: 4,98 [ m ] Wartość średnia d z 2 rzędu dyfrakcji: 4,94 [ m ]

Błąd sinΘ_m wyznaczymy metodą różniczki zupełnej:

Błąd d wyznaczymy metodą pochodnej logarytmicznej:

, gdzie m oznacza rząd dyfrakcji

Błąd długości fali Dl został pominięty, ponieważ nie ma on większego wpływu na błąd pomiaru (jest ponad 10-krotnie mniejszy od błędu spowodowanego wyznaczeniem wartości sinΘ_m).

Przykładowe obliczenia:

Na podstawie otrzymanych wyników obliczonych wartości d z dyfrakcji pierwszego i drugiego rzędu można wyznaczyć stałą siatki jako średnią danych z tabeli:

, i - oznacza numer pomiaru

Tabela 2. Stałe siatek dyfrakcyjnych
Lp.	Siatka dyfr. S1	Siatka dyfr. S2
		d	d
		[ m ]	[ m ]
1	3,52	4,86
2	3,48	5,03
3	3,51	5,04
4	3,48	4,94
5	3,51	4,98
6	3,51	4,89
Średnia	3,50	4,96
Odchyl. st. σ=d	0,01	0,03
Błąd względny δd	0,3 [%]	0,6 [%]

Wartość średnia:
, i=1,2,...,6

Odchylenie standardowe:
=

Błąd względny:

Przykładowe obliczenia:

d_śr = (3,52+3,48+…+3,51)/6 = 3,50 [ m ]

[ m ]

[ m ]

[ % ]

Można zatem ostatecznie zapisać wynik pomiaru stałej siatki dyfrakcyjnej:

dla siatki S1: d = (3,50 ± 0,01) m

dla siatki S2: d = (4,96 ± 0,03) m

2. Wyznaczanie długości fal przepuszczanych przez filtr

Na oświetlacz nakładamy jeden z filtrów interferencyjnych. Po ustawieniu siatki dyfrakcyjnej w odległości l od ekranu należy zaobserwować na tle skali plamki ±1i ±2 rzędu dyfrakcji. Mierząc ich odległości l_m i p_m od środka plamki centralnej należy wyznaczyć kąt ugięcia Θ_m dla pierwszego i drugiego rzędu dyfrakcji. Korzystamy ze wzoru:

Z równania siatki dyfrakcyjnej wyznaczymy długość fali przepuszczanej przez filtr, korzystając z danych dla pierwszego i drugiego rzędu dyfrakcji:

gdzie m - oznacza rząd dyfrakcji.

Wyniki pomiarów:

l = (30,0 ± 0,1) cm

l_m = p_m = 0,1 cm - dla każdego pomiaru

Tabela 3. Wyniki pomiaru odległości ugięcia wiązki fali oraz obliczone wartości długości fali
Siatka dyfrakcyjna S1
Filtr		1 rząd dyfrakcji									2 rząd dyfrakcji
				lm	pm	sinΘm	sinΘm							lm		Pm		sinΘm		sinΘm				
				[ cm ]	[ cm ]	[ - ]	[ - ]		[ nm ]		[ nm ]			[ cm ]		[ cm ]		[ - ]		[ - ]		[ nm ]		[ nm ]
SIF 436 Hg	3,7	3,7	0,122		0,004		428,42		14,04			7,5		7,5		0,243		0,004		424,44		7,87
IF 550	4,7	4,7	0,155		0,004		541,73		14,56			9,8		9,7		0,309		0,004		540,90		8,19
IF 600	5,2	5,2	0,171		0,004		597,75		14,80			10,6		10,7		0,335		0,004		585,45		8,29
IF 675	5,9	5,9	0,193		0,004		675,40		15,12			12,1		12,7		0,382		0,004		668,48		8,42
Siatka dyfrakcyjna S2
SIF 436 Hg	2,7	2,7	0,090		0,004		444,60		18,70			5,4		5,4		0,177		0,004		439,34		10,18
IF 550	3,3	3,3	0,109		0,004		542,33		19,12			6,8		6,8		0,221		0,004		548,23		10,51
IF 600	3,6	3,6	0,119		0,004		590,96		19,32			7,4		7,4		0,239		0,004		593,93		10,63
IF 675	4,1	4,1	0,135		0,004		671,62		19,63			8,5		9,5		0,287		0,004		712,62		10,88

Błąd sinΘ_m wyznaczony metodą różniczki zupełnej ma postać (wyprowadzenie na str.3):

Błąd  wyznaczymy metodą pochodnej logarytmicznej:

, gdzie m (stała) oznacza rząd dyfrakcji

Przykładowe obliczenia:

Zbierając dane z poszczególnych pomiarów długości fali uzyskanych za pomocą siatek dyfrakcyjnych S1 i S2 dla pierwszego i drugiego rzędu dyfrakcji możemy obliczyć średnią długość fali przepuszczaną przez dany filtr:

Tabela 4. Długości fali przepuszczane przez filtr
Filtr	 (S1, m=1)	 (S1, m=2)	 (S2, m=1)	 (S1, m=2)	śr	śr	δśr
		[ nm ]	[ nm ]	[ nm ]	[ nm ]	[ nm ]	[ nm ]	[ % ]
SIF 436 Hg (fioletowy)	428,42	424,44	444,60	439,34	434,20	4,68	1,08
IF 550 (zielony)	541,73	540,90	542,33	548,23	543,30	1,67	0,31
IF 600 (pomarańczowy)	597,75	585,45	590,96	593,93	592,02	2,59	0,44
IF 675 (czerwony)	675,40	668,48	671,62	712,62	682,03	10,29	1,51

Wartość średnia:
, i=1,2,3,4

Odchylenie standardowe:
=

Błąd pomiaru będzie więc wynosił:

Błąd względny:

Przykładowe obliczenia:

_śr = (428,42+…+439,34)/4 =434,20 [nm]

Możemy zatem zapisać ostatecznie długości fal przepuszczanych przez filtry:

dla filtru SIF 436 Hg:  = (434,2 ± 4,7) nm

dla filtru IF 550:  = (543,3 ± 1,7) nm

dla filtru IF 600:  = (592,0 ± 2,6) nm

dla filtru IF 675:  = (682,0 ± 10,3) nm

3. Wyznaczanie długości fal widma światła białego

Widmo światła białego:

Pomiar wykonujemy tak samo jak w pkt.2, odczytując położenie początku i końca danej barwy na ekranie. Następnie wyznaczamy sinus kąta ugięcia i długość fali korzystając ze wzorów:

Wyniki pomiarów

Pomiary wykonano tylko dla pierwszego rzędu dyfrakcji.

l = (30,0 ± 0,1) cm

l_m = p_m = 0,1 cm - dla każdego pomiaru

Tabela 5. Wyniki pomiaru odległości ugięcia wiązki fali oraz obliczone wartości długości fali widma
Siatka dyfrakcyjna S1
Barwa		1 rząd dyfrakcji
				lm		Pm		sinΘm		sinΘm				
				[ cm ]		[ cm ]		[ - ]		[ - ]		[ nm ]		[ nm ]
Początek czerwonej		6,0		6,0		0,196		0,004		686,41		15,16
Koniec czerwonej / początek żółtej		5,1		5,1		0,168		0,004		586,58		14,75
Koniec żółtej / początek niebieskiej		4,2		4,2		0,139		0,004		485,27		14,30
Koniec niebieskiej		3,5		3,5		0,116		0,004		405,58		13,93
Siatka dyfrakcyjna S2
Początek czerwonej				4,3		4,3		0,142		0,004		703,74		19,75
Koniec czerwonej / początek żółtej				3,5		3,5		0,116		0,004		574,77		19,25
Koniec żółtej / początek niebieskiej				3,0		3,0		0,100		0,004		493,54		18,91
Koniec niebieskiej				2,6		2,6		0,086		0,004		428,26		18,63

Błąd sinΘ_m wyznaczony metodą różniczki zupełnej ma postać (wyprowadzenie na str.3):

Błąd  wyznaczymy metodą pochodnej logarytmicznej (wyprowadzenie na str.6):

Przykładowe obliczenia:

Korzystając z tego, że pomiary były robione dla dwóch siatek dyfrakcyjnych możemy wyznaczyć odpowiednie długości fali widma jako wartość średnią:

Tabela 6. Długości fali poszczególnych barw widma światła białego
Barwa	 (S1)	 (S2)	śr	śr	δśr
		[ nm ]	[ nm ]	[ nm ]	[ nm ]	[ % ]
Początek czerwonej	686,41	703,74	695,08	17,46	2,51
Koniec czerwonej / początek żółtej	586,58	574,77	580,68	17,00	2,93
Koniec żółtej / początek niebieskiej	485,27	493,54	489,41	16,61	3,39
Koniec niebieskiej	405,58	428,26	416,92	16,28	3,90

Wartość średnia:
, i=1,2

Błąd bezwzględny:

Błąd względny:

Przykładowe obliczenia:

_śr = (686,41+703,72)/2 = 695,08 [nm]

_śr = (15,16+19,75)/2 = 17,46 [nm]

δ_śr = 17,46/695,08⋅100% = 2,51 [%]

Zatem długości fali widma światła białego wynoszą:

barwa niebieska:  = (416,9 ± 16,3 - 489,4 ± 16,6) nm

barwa żółta:  = (489,4 ± 16,6 - 580,7 ± 17,0) nm

barwa czerwona:  = (580,7 ± 17,0 - 695,1 ± 17,5) nm

WNIOSKI I UWAGI:

W pkt.1 ćwiczenia wyznaczaliśmy stałą siatki dyfrakcyjnej. Stała ta jest odległością między szczelinami. W pomiarach wykorzystano dwie siatki dyfrakcyjne, a wartość d wyznaczano na podstawie dwóch rzędów dyfrakcji, czyli ugięcia fali. Z otrzymanych wyników możemy zauważyć, że dla danego rzędu dodatniego i ujemnego odległości plamki na ekranie są takie same, więc taki sam jest sinus kąta ugięcia. Ćwiczenie potwierdziło, że stałe siatek dyfrakcyjnych są rzędu kilku mikrometrów, takie bowiem siatki stosuje się w praktyce. Do wyliczenia d wykorzystano kilka długości fali. Wartość d wyznaczono jako średnią z otrzymanych wyników, błąd zaś obliczono jako odchylenie standardowe wartości średniej. Z obserwacji wynika, że badane siatki dyfrakcyjne były siatkami transmisyjnymi i prostokątnymi, gdyż światło przechodziło przez siatkę i był widoczny drugi rząd dyfrakcji. Dla siatek sinusoidalnych drugiego rzędu nie można zaobserwować.

W pkt.2 ćwiczenia wyznaczaliśmy długość fali przepuszczaną przez filtr. Z pomiarów wynika, że filtr przepuszcza tylko tą długość fali, która odpowiada jego barwie, tłumiąc pozostałe. Długości fal obliczono jako średnią z pomiarów przy pomocy dwóch siatek dyfrakcyjnych dla dwóch rzędów dyfrakcji.

W pkt.3 ćwiczenia wyznaczaliśmy zakres długości fal widma światła białego przy użyciu siatek dyfrakcyjnych dla pierwszego rzędu dyfrakcji. Światło białe po przejściu przez siatkę dyfrakcyjną ulega ugięciu, a na ekranie obserwuje się jego widmo ciągłe w postaci kolorowego paska. W pasku tym można wyróżnić co najmniej trzy barwy: czerwoną, żółtą i niebieską. Każdej barwie odpowiada określona długość fali. Zakres fal widzialnych mieści się w granicach od ok. 400nm (barwa fioletowa) do ok. 700 nm (barwa czerwona). Długości fal poszczególnych barw uzyskane z pomiarów pokrywają się z rzeczywistością (mieszczą się w granicy błędu). Wartości te wyliczono jako średnią z widma uzyskanego za pomocą dwóch siatek dyfrakcyjnych.

Wykaz przyrządów:

• Siatki dyfrakcyjne

• Filtry interferencyjne

• Spekol z zasilaczem

• Oświetlacz z zasilaczem

• Obrazowód

• Ekran ze skalą i otworem

• Ława optyczna z podziałką

- 9 -

---