Akademia Techniczno-Rolnicza w Bydgoszczy Instytut Matematyki i Fizyki - Laboratorium Fizyczne |
|
Imię i nazwisko: Patryk Witt Fizyka Techniczna, semestr III, data ćwiczenia: 13.11.06, data opracowania: 25.11.06 |
|
Ćwiczenie: Temat: |
21 |
I. Opis Teoretyczny
Co to w ogóle jest opór elektryczny?
Rezystancja jest miarą oporu, z jakim element przeciwstawia się przepływowi prądu elektrycznego.
Zwyczajowo rezystancję oznacza się symbolem R. Jednostką rezystancji w układzie SI jest om (1 Ω).
Odwrotność rezystancji to konduktancja, której jednostką jest simens.
Dla większości materiałów ich rezystancja nie zależy od wielkości przepływającego prądu lub wielkości przyłożonego napięcia. Prąd i napięcie są wtedy do siebie proporcjonalne, a współczynnik proporcjonalności to właśnie rezystancja. Zależność ta znana jest jako prawo Ohma.
Miarą oporu, z jaką dany materiał przeciwstawia się przepływowi prądu elektrycznego, jest rezystywność. Jeżeli znamy wymiary geometryczne elementu i rezystywność materiału, z jakiego został wykonany, to jego rezystancję obliczamy według wzoru:
, gdzie l - długość elementu, S - pole przekroju poprzecznego elementu, ρ - rezystywność materiału.
Rezystancja dotyczy tylko elementów czysto rezystancyjnych (rezystor). Uogólnieniem i rozwinięciem pojęcia rezystancji na elementy rezystancyjne, pojemnościowe (kondensator) i indukcyjne (cewka) jest impedancja. Rezystancja jest wówczas częścią rzeczywistą impedancji zespolonej.
Czym w takim razie jest rezystywność?
Rezystywność (rezystancja właściwa) to miara oporu z jakim materiał przeciwstawia się przepływowi prądu elektrycznego. Rezystywność jest zazwyczaj oznaczana jako ρ (mała grecka litera rho).
Jednostką rezystywności w układzie SI jest om∙metr (1 Ωm).
Odwrotność rezystywności to konduktywność.
Rezystywność materiału wyznaczyć można znając wymiary geometryczne i rezystancję jednorodnego bloku danego materiału:
gdzie: R - rezystancja, S - pole przekroju poprzecznego elementu, l - długość elementu.
W ogólności rezystywność metali wzrasta wraz z temperaturą, a rezystywność półprzewodników zmniejsza się przy wzroście temperatury.
Rezystywność niektórych materiałów w specyficznych warunkach znika całkowicie; zjawisko to nazywamy nadprzewodnictwem.
Tabela rezystywności niektórych materiałów (w temp. 20 stopni Celsjusza), [Ωm] :
srebro |
1,59 x 10-8 |
miedź |
1,7 x 10-8 |
złoto |
2,44 x 10-8 |
aluminium |
2,82 x 10-8 |
żelazo |
10 x 10-8 |
platyna |
11 x 10-8 |
ołów |
22 x 10-8 |
węgiel |
3,5 x 10-5 |
german |
0,46 |
krzem |
640 |
szkło |
1010 - 1014 |
guma |
około 1013 |
siarka |
1015 |
Kim był Georg Ohm?
Georg Simon Ohm (16.3.1787 - 7.7.1854), fizyk niemiecki, profesor politechniki w Norymberdze w latach 1833-1849 i uniwersytetu w Monachium po roku 1849.
Prace głównie z zakresu elektryczności i akustyki. Sformułował (1826) i udowodnił prawo opisujące związek pomiędzy natężeniem prądu elektrycznego a napięciem elektrycznym (tzw. Prawo Ohma). Badał nagrzewanie się przewodników przy przepływie prądu elektrycznego.
Badając zależność oporu od formy geometrycznej przewodnika udowodnił istnienie oporności właściwej. W 1843 stwierdził, że najprostsze wrażenie słuchowe jest wywołane drganiami harmonicznymi, przy czym ucho jest zdolne rozkładać dźwięki na składowe sinusoidalne.
O czym mówi prawo Ohma?
Prawo Ohma mówi, że natężenie prądu stałego I jest proporcjonalne do całkowitej siły elektromotorycznej w obwodzie zamkniętym lub do różnicy potencjałów (napięcia elektrycznego) między końcami części obwodu nie zawierającej źródeł siły elektromotorycznej. Prawidłowość tę odkrył w 1827 roku niemiecki fizyk, profesor politechniki w Norymberdze i uniwersytetu w Monachium Georg Simon Ohm. Można ją opisać jako:
Współczynnik proporcjonalności w tej relacji nazywany jest konduktancją, oznaczaną przez G.
lub w ujęciu tradycyjnym:
Prawo Ohma określa opór elektryczny przewodnika:
Prawo to jest prawem doświadczalnym i jest dość dokładnie spełnione dla ustalonych warunków przepływu prądu, szczególnie temperatury przewodnika. Materiały, które się do niego stosują, nazywamy przewodnikami omowymi lub "przewodnikami liniowymi" - w odróżnieniu od przewodników nieliniowych, w których opór jest funkcją natężenia płynącego przez nie prądu. Ze wszystkich materiałów przewodzących prawo Ohma najdokładniej jest spełnione w przypadku metali.
Dla przewodników nie spełniających prawa Ohma oprócz wyżej wymienionego prawa, zwanego tu prawem statycznym, określa się też dynamiczne (różniczkowe) prawo Ohma:
różniczkowe prawo Ohma:
Interpretacja prawa Ohma.
Prawo Ohma mówi nam, że natężenie płynącego przez przewodnik prądu dokładnie „nadąża” za zmianami napięcia. Gdy napięcie wzrasta 2-krotnie, wtedy wywołany tym napięciem przepływ prądu też osiągnie natężenie 2 razy większe, gdy napięcie wzrośnie 5-krotnie, to natężenie prądu też powinno wzrosnąć 5 razy w stosunku do wartości początkowej, itd.
Jeszcze inaczej mówiąc:
Natężenie prądu, będące efektem przyłożonego napięcia, zachowuje się proporcjonalnie do swojej przyczyny.
Prawo Ohma jest spełniane przez część materiałów - głównie przez metale i materiały ceramiczne. Jest jednak dużo substancji które prawa Ohma nie spełniają, czyli natężenie przepływającego przez nie prądu zmienia się w sposób nieproporcjonalny do napięcia.
Kiedy prawo Ohma jest spełnione?
Prawo Ohma jest prawem materiałowym (nie uniwersalnym), co oznacza, że sprawdza się tylko dla niektórych materiałów - substancji. Poza tym prawo to jest słuszne tylko w określonych napięć i przy ustalonych warunkach zewnętrznych (np. stała powinna być temperatura).
Prawo Ohma jest spełniane głównie przez metale i materiały ceramiczne. Jest jednak dużo substancji, które prawa Ohma nie spełniają, czyli natężenie przepływającego przez nie prądu zmienia się w sposób nieproporcjonalny do napięcia. Poza tym stosowalność prawa Ohma może istotnie zależeć od zakresu napięć - np. w typowych sytuacjach przy małych napięciach natężenie jest proporcjonalne do napięcia, ale po przejściu w zakres dużych napięć, proporcjonalność się załamuje.
Kim był Gustav Kirchhoff?
Gustav Robert Kirchhoff (ur. 12 marca 1824 w Królewcu, zm. 17 października 1887 w Berlinie) - fizyk niemiecki, badacz zjawisk elektrycznych, elektromechanicznych, cieplnych i optycznych, oraz dotyczących sprężystości ciał stałych i przepływów cieczy, twórca podstaw fizyki matematycznej, sformułował prawa Kirchhoffa będące dzisiaj podstawowymi prawami dotyczącymi przepływu prądu stałego w obwodach, oraz prawo promieniowania temperaturowego. Wraz z Robertem Bunsenem opracował metodę analizy spektralnej (spektroskopię), dzięki której obaj uczeni odkryli potem dwa nowe pierwiastki - rubid i cez.
Członek Berlińskiej, Paryskiej i Petersburskiej Akademii Nauk. Profesor fizyki na uniwersytetach we Wrocławiu (1850-1854), Heidelbergu (1854-1875) i Berlinie (1876 do śmierci).
Pierwsze prawo Kirchhoffa.
Prawo to dotyczy przepływu prądu w rozgałęzieniach obwodu elektrycznego, sformułowane zostało w 1845 roku przez Gustawa Kirchhoffa. Wynika ono z zasady zachowania ładunku. Wraz z drugim prawem Kirchhoffa umożliwia określenie przepływających prądów w obwodach elektrycznych.
Prawo to brzmi: „Suma algebraiczna natężeń prądów dopływających(+) i odpływających(-) z danego węzła jest równa 0.” lub „Suma natężeń prądów dopływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła.”
W zależności od użytego aparatu matematycznego prawo to jest w różny sposób przedstawiane w postaci wzorów.
Dla każdego węzła obwodu elektrycznego suma algebraiczna wartości chwilowych prądów jest równa zeru.
Przyjmuje się konwencję, że prądy zwrócone do węzła mają znak (+), zaś prądy ze zwrotem od węzła mają znak (-), np.:
Ściślej:
Całka po powierzchni zamkniętej gęstości prądu jest równa zero:
j - gęstość prądu (A/m2)
S - powierzchnia (m2)
Pierwsze prawo Kirchhoffa jest prostą konsekwencją zasady zachowania ładunku oraz stwierdzenia, że w węźle praktycznie nie może gromadzić się ładunek.
Drugie prawo Kirchhoffa.
Drugie prawo Kirchhoffa - zwane również Prawem napięciowym, dotyczy bilansu napięć w zamkniętym obwodzie elektrycznym.
„Suma wartości chwilowych sił elektromotorycznych występujących w obwodzie zamkniętym równa jest sumie wartości chwilowych napięć elektrycznych na elementach pasywnych tego obwodu”:
Przykładowy obwód zamknięty:
Prawo to można także zapisać w postaci całkowej:
, gdzie: E jest wektorem natężenia pola elektrostatycznego
Łączenie szeregowe oporów:
Jest to taki rodzaj połączenia elementów elektrycznych, w którym koniec jednego elementu łączy się z początkiem następnego. Połączenie takie tworzy szereg (łańcuch) elementów, w którym prąd elektryczny musi przepływać kolejno przez wszystkie elementy (natężenie prądu ma więc taką samą wartość dla wszystkich elementów w połączeniu szeregowym). Napięcie wypadkowe układu równe jest sumie napięć na poszczególnych oporach.
ostatecznie otrzymujemy:
Możemy więc powiedzieć, że opór zastępczy kilku oporników połączonych szeregowo równa się sumie ich poszczególnych oporów. Opór zastępczy w połączeniu szeregowym jest zawsze większy od największego oporu występującego w układzie.
Łączenie równoległe oporów:
Jest to taki rodzaj połączenia elementów elektrycznych, w którym wszystkie końce oraz wszystkie początki składowych elementów są połączone razem. Połączenie takie tworzy odpowiednią ilość gałęzi, w których mogą płynąć różne prądy, ale które zasilane są takim samym napięciem elektrycznym.
ostatecznie otrzymujemy:
W tym przypadku można powiedzieć, że odwrotność oporu zastępczego kilku oporników połączonych równolegle równa się sumie odwrotności ich poszczególnych oporów. Ponadto opór zastępczy w takim połączeniu jest zawsze mniejszy od najmniejszego oporu występującego w układzie.
Mostek Wheatstone'a:
Dokładny pomiar oporu elektrycznego możemy przeprowadzić metodą mostka Wheatstone'a. Polega ona na porównaniu oporu znanego z oporem nieznanym. Mostek taki składa się z dwóch równolegle połączonych rozgałęzień: ACB i ADB. W jednym rozgałęzieniu znajdują się opory R1 i R2, a w drugim R3 i R4. oba rozgałęzienia połączone są mostkiem CD, w którym znajduje się czuły galwanometr G. Prąd doprowadzany do mostka rozgałęzia się w punktach A i B.
Pomiar oporu nieznanego sprowadza się do doprowadzenia mostka do stanu równowagi za pomocą zmiany wartości oporów znanych. Mostek jest w równowadze kiedy między punktami C i D różnica potencjałów jest równa 0, czyli przez galwanometr nie płynie prąd (IG=0).
Jeżeli między punktami C i D nie płynie prąd to napięcie pomiędzy tymi punktami musi być równe zeru, tzn. potencjały w tych punktach muszą być jednakowe. Wobec tego, między punktami A i B panuje różnica potencjałów V, która zapewnia odpowiednie spadki napięć w rozgałęzieniach. Ponieważ napięcie między C i D jest równe zeru, więc spadki napięć na odcinkach AC i AD oraz CB i DB są między sobą równe.
,
Wprowadzając oznaczenia natężeń prądu płynącego w rozgałęzieniach i stosując prawo Ohma, otrzymamy równania wyrażające równość wymienionych spadków napięć:
,
Ponieważ przez mostek CD nie płynie prąd, korzystając z pierwszego prawa Kirchhoffa:
,
Dzieląc równania stronami otrzymujemy więc:
Z powyższego wzoru możemy więc obliczyć wartość nieznanego oporu (np. R1) dysponując znajomością wartości pozostałych oporów.
W mostkach technicznych rezystancje znane (np. R3 i R4) zastąpione są oporowym drutem ślizgowym, po którym przesuwa się ruchomy styk. Styk ten zaopatrzony jest w tarczę z podziałką pozwalającą odczytać wartość stosunku R3/R4. Rezystor R2 wykonany jest jako dekadowy, umożliwiający nastawienie odpowiednich wartości.
Czasem wszystkie elementy układu mostkowego, łącznie ze źródłami zasilającymi w mostkach technicznych umieszczone są we wspólnej obudowie miernika. Możliwe jest również zasilanie mostka ze źródła zewnętrznego.
Zakres pomiarowy mostka Wheatstone'a zawiera się najczęściej w granicach od 1Ω do 104Ω. Dolna granica wynika z wpływu dodatkowej rezystancji przewodów łączeniowych oraz rezystancji miejsc styku przewodów z badanym rezystorem na rezystancję mierzoną R1. Górna granica zakresu pomiarowego jest uzależniona od czułości zastosowanego wskaźnika równowagi mostka (galwanometru), wartości napięcia źródła zasilania oraz rezystancji R2, R3 i R4.
II. Wyniki pomiarów
Dla: |
R1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
L1 [cm] |
27,8 |
49,5 |
50,6 |
49,5 |
50,6 |
|
L2 [cm] |
72,2 |
50,5 |
49,4 |
50,5 |
49,4 |
|
R [Ω] |
100 |
39 |
38 |
39 |
38 |
|
X [Ω] |
38,5 |
38,2 |
38,9 |
38,2 |
38,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dla: |
R2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
L1 [cm] |
60,8 |
50,6 |
49,4 |
50,5 |
49,6 |
|
L2 [cm] |
39,2 |
49,4 |
50,6 |
49,5 |
50,4 |
|
R [Ω] |
100 |
155 |
159 |
155 |
158 |
|
X [Ω] |
155,1 |
158,8 |
155,2 |
158,1 |
155,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dla: |
R3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
L1 [cm] |
72,8 |
50,5 |
49,4 |
50,5 |
49,5 |
|
L2 [cm] |
27,2 |
49,5 |
50,6 |
49,5 |
50,5 |
|
R [Ω] |
100 |
268 |
273 |
267 |
272 |
|
X [Ω] |
267,6 |
273,4 |
266,5 |
272,4 |
266,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dla: |
R4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
L1 [cm] |
86,5 |
49,4 |
50,5 |
49,6 |
50,5 |
|
L2 [cm] |
13,5 |
50,6 |
49,5 |
50,4 |
49,5 |
|
R [Ω] |
100 |
641 |
626 |
639 |
629 |
|
X [Ω] |
640,7 |
625,8 |
638,6 |
628,9 |
641,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dla: |
R1-R4 szeregowo |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
L1 [cm] |
92,1 |
49,2 |
49,9 |
49,8 |
50,5 |
|
L2 [cm] |
7,9 |
50,8 |
50,1 |
50,2 |
49,5 |
|
R [Ω] |
100 |
1166 |
1129 |
1125 |
1116 |
|
X [Ω] |
1165,8 |
1129,3 |
1124,5 |
1116,0 |
1138,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dla: |
R1-R4 równolegle |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
L1 [cm] |
20,7 |
50,3 |
50,2 |
50,2 |
50,2 |
|
L2 [cm] |
79,3 |
49,7 |
49,8 |
49,8 |
49,8 |
|
R [Ω] |
100 |
26 |
26 |
26 |
26 |
|
X [Ω] |
26,1 |
26,3 |
26,2 |
26,2 |
26,2 |
|
III. Obliczenia
Z pomiarów:
Z obliczeń:
IV. Szacowanie niepewności
Dla R1:
Dla R2:
Dla R3:
Dla R4:
Dla Rszer:
Dla Rrówn:
Ostatecznie otrzymujemy:
V. Wnioski
Otrzymane wyniki przy połączeniach szeregowym i równoległym odbiegają o ok. 3% i 1,5% od wartości wyliczonych na podstawie zmierzonych, poszczególnych oporów R1-R4.
Na fakt ten mogły mieć wpływ następujące czynniki:
- niedokładnie prostoliniowy drut ślizgowy
- zbyt mała czułość galwanometru
- siły termoelektryczne
- zmiana rezystancji we wszystkich gałęziach mostka, spowodowana zmianami temperatury
- wpływ rezystancji przewodów łączących i styków