AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ MECHANICZNY |
|
LABORATORIUM: fizyki
|
|
Ćwiczenie nr 2 Temat: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego
|
|
Imię i nazwisko: Rafał Politowicz Studium inż. Semestr III Grupa E Data: 25.10.96 |
|
Tabela pomiarowa:
Lp. |
Długość l [m] |
Czas t [s] |
liczba mierzonych okresów n |
|
|
|
|
Wprowadzenie:
Przyspieszenie ziemskie - przyspieszenie spadku swobodnego, przyspieszenie nadawane swobodnemu punktowi materialnemu przez siłę ciężkości. Takie przyspieszenie miałoby każde ciało sztywne podczas spadku na Ziemię w przestrzeni pozbawionej powietrza. Przyspieszenie ziemskie podobnie jak siła ciężkości zależy od szerokości geograficznej i wysokości nad poziom morza. Wzorami określającymi te zależności oraz metodami wyznaczania przyspieszenia ziemskiego zajmuje się grawimetria. Na szerokości Warszawy przyspieszenie ziemskie na poziomie morza wynosi g=9.8157m/s2.
Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego. Przy założeniu braku sił oporu powietrza wartość tego przyspieszenia przy powierzchni Ziemi wynosiłaby:
gdzie:
G - stała grawitacji,
M - masa Ziemi,
Rz - promień Ziemi.
r
m
ϕ Rz
Siły działające na ciało umieszczone na powierzchni Ziemi
Na ciało znajdujące się na obracającej się planecie działa odśrodkowa siła bezwładności oraz siła Coriolisa, którą można zaniedbać w porównaniu z tą pierwszą. Składowa normalna odśrodkowej siły bezwładności w miejscu o szerokości geograficznej ϕ wynosi:
gdzie:
T - okres obrotu Ziemi wokół swej osi
Pisząc powyższą zależność założyliśmy kulistość Ziemi. Zwykle do obliczenia zależności przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej stosuje się empiryczny wzór Hayforda:
Przyspieszenie ziemskie g maleje ze wzrostem wysokości. W ten sposób dochodzimy do konkluzji, że przyspieszenie ziemskie powinniśmy wyznaczać metodami doświadczalnymi.
Najprostszą metodą pomiaru przyspieszenia ziemskiego wydaje się sposób pomiaru czasu spadku swobodnego. Jednak nie daje on zadowalających wyników z powodu konieczności uwzględniania wielu poprawek (np. opór powietrza). Do precyzyjnych pomiarów g stosuje się tzw. grawimetry. Zasada działania tych przyrządów sprowadza się do porównania siły ciężkości z siłą sprężystą.
Pomiar przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła prostego:
ϕ
l
Wahadło proste
Wahadło proste jest odwzorowaniem modelowego wahadła matematycznego. Stanowi go metalowa kula zawieszona na lekkiej, nierozciągliwej nici, (np. cienkim druciku). Podczas wychylenia kulki o kąt ϕ z położenia równowagi składowa styczna siły ciężkości będzie wyrażona wzorem:
F=mg sinϕ
Dla małych wychyleń wartość sinusa może być zastąpiona kątem w mierze łukowej:
Poniższa tablica ilustruje słuszność tego przybliżenia dla kątów <60°
α [°] |
sinα [-] |
α [rad] |
(α-sinα)/α [%] |
10 20 30 40 50 60 |
0.1736 0.3420 0.5000 0.6428 0.7660 0.8660 |
0.1745 0.3491 0.5236 0.6981 0.8727 1.0472 |
0.5 2.0 4.5 7.9 12.2 17.3 |
Przyspieszenie styczne do toru kuli jest również funkcją kąta:
gdzie:
l - długość wahadła
uwzględniając II zasadę dynamiki otrzymamy:
i po uproszczeniu otrzymamy:
Jest to równanie ruchu harmonicznego, a jego rozwiązaniem jest funkcja:
gdzie:
ϕm - amplituda drgań
ϕ0 - faza początkowa
Częstość ω spełnia warunek:
Okres drgań wahadła matematycznego wyraża się wzorem:
Okres ten zależy od masy wahadła, a zależność od amplitudy ma znaczenie dopiero dla dużych kątów. Wtedy równanie ruchu przybiera postać:
a jego całkowanie wymaga rozwinięcia w szereg potęgowy Newtona i prowadzi ostatecznie do wzoru na okres drgań:
Dla amplitudy m=5 popełnilibyśmy błąd względny ok. 0.2* opuszczając wyrazy w nawiasie oprócz jedynki. Można więc przyjąć izochronizm wahadła (niezależność okresu od amplitudy) i stosować wzór na okres drgań:
Zasada pomiaru:
Ze wzoru:
wynika, że dla wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego wystarczy zmierzyć długość wahadła i okres jego drgań. Przy pomiarze długości wahadła popełniamy jednak stosunkowo duży błąd. Można tego uniknąć stosując tzw. Wahadło różnicowe. Długość takiego wahadła można zmieniać, a zmiany długości mierzyć stosunkowo dokładnie (np. katetomierzem).
Mierząc dwukrotnie okresy drgań dla dwóch różnych długości otrzymamy dwa równania/:
oraz
które po podniesieniu do kwadratu odejmujemy i przekształcamy do postaci:
Obliczenie błędów:
skoro , a i otrzymamy:
Δt1=Δt2=±0,4s, Δl=±0.004m
zatem:
g=9.54±0.79
Dyskusja błędów:
Największy wpływ na wielkość błędu ma w naszym przypadku refleks mierzącego. W obliczeniach należy również uwzględnić błąd paralaksy przy mierzeniu długości wahadła. Podobnie duży wpływ na ów błąd ma liczba mierzonych okresów. Gdyby liczbę tę zwiększyć otrzymany wynik byłby bliższy oczekiwanego 9.81m/s2.
Uzupełnienie:
Na wielkość przyspieszenia ziemskiego wpływ ma szerokość geograficzna, gdyż Ziemia nie jest kulą lecz elipsoidą i odległość na biegunach do środka Ziemi jest mniejsza niż na równiku. Ponadto na biegunach siła ciężkości Q jest równa sile grawitacji Fg, natomiast na innej szerokości geograficznej siła ciężkości Q jest równa wypadkowej sił grawitacji Fg i bezwładności Fb (patrz rysunek).
ω
Q=Fg Fb
Fg
W skutek ruchu wirowego Ziemi na naszej półkuli obserwujemy podmywanie prawych (wschodnich) brzegów rzek, zużycie prawych szyn kolejowych, statki kosmiczne startują z zachodu na wschód, woda wypływając z wanny tworzy wir kręcąc się w prawą stronę. Są to efekty działania siły Coriollisa.
Ponieważ siła Fg wyraża się wzorem:
przyspieszenie ziemskie zależy również od wysokości, z tym że dla bardzo małych wysokości są to wielkości niemal niezauważalne.