Ćwiczenie nr 2 Temat: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego

Tabela pomiarowa:

Lp.	Długość l [m]	Czas t [s]	liczba mierzonych okresów n

Wprowadzenie:

Przyspieszenie ziemskie - przyspieszenie spadku swobodnego, przyspieszenie nadawane swobodnemu punktowi materialnemu przez siłę ciężkości. Takie przyspieszenie miałoby każde ciało sztywne podczas spadku na Ziemię w przestrzeni pozbawionej powietrza. Przyspieszenie ziemskie podobnie jak siła ciężkości zależy od szerokości geograficznej i wysokości nad poziom morza. Wzorami określającymi te zależności oraz metodami wyznaczania przyspieszenia ziemskiego zajmuje się grawimetria. Na szerokości Warszawy przyspieszenie ziemskie na poziomie morza wynosi g=9.8157m/s².

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego. Przy założeniu braku sił oporu powietrza wartość tego przyspieszenia przy powierzchni Ziemi wynosiłaby:

gdzie:

G - stała grawitacji,

M - masa Ziemi,

R_z - promień Ziemi.

r

m

ϕ R_z

Siły działające na ciało umieszczone na powierzchni Ziemi

Na ciało znajdujące się na obracającej się planecie działa odśrodkowa siła bezwładności oraz siła Coriolisa, którą można zaniedbać w porównaniu z tą pierwszą. Składowa normalna odśrodkowej siły bezwładności w miejscu o szerokości geograficznej ϕ wynosi:

gdzie:

T - okres obrotu Ziemi wokół swej osi

Pisząc powyższą zależność założyliśmy kulistość Ziemi. Zwykle do obliczenia zależności przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej stosuje się empiryczny wzór Hayforda:

Przyspieszenie ziemskie g maleje ze wzrostem wysokości. W ten sposób dochodzimy do konkluzji, że przyspieszenie ziemskie powinniśmy wyznaczać metodami doświadczalnymi.

Najprostszą metodą pomiaru przyspieszenia ziemskiego wydaje się sposób pomiaru czasu spadku swobodnego. Jednak nie daje on zadowalających wyników z powodu konieczności uwzględniania wielu poprawek (np. opór powietrza). Do precyzyjnych pomiarów g stosuje się tzw. grawimetry. Zasada działania tych przyrządów sprowadza się do porównania siły ciężkości z siłą sprężystą.

Pomiar przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła prostego:

ϕ

l

Wahadło proste

Wahadło proste jest odwzorowaniem modelowego wahadła matematycznego. Stanowi go metalowa kula zawieszona na lekkiej, nierozciągliwej nici, (np. cienkim druciku). Podczas wychylenia kulki o kąt ϕ z położenia równowagi składowa styczna siły ciężkości będzie wyrażona wzorem:

F=mg sinϕ

Dla małych wychyleń wartość sinusa może być zastąpiona kątem w mierze łukowej:

Poniższa tablica ilustruje słuszność tego przybliżenia dla kątów <60°

α [°]	sinα [-]	α [rad]	(α-sinα)/α [%]
10 20 30 40 50 60	0.1736 0.3420 0.5000 0.6428 0.7660 0.8660	0.1745 0.3491 0.5236 0.6981 0.8727 1.0472	0.5 2.0 4.5 7.9 12.2 17.3

Przyspieszenie styczne do toru kuli jest również funkcją kąta:

gdzie:

l - długość wahadła

uwzględniając II zasadę dynamiki otrzymamy:

i po uproszczeniu otrzymamy:

Jest to równanie ruchu harmonicznego, a jego rozwiązaniem jest funkcja:

gdzie:

ϕ_m - amplituda drgań

ϕ₀ - faza początkowa

Częstość ω spełnia warunek:

Okres drgań wahadła matematycznego wyraża się wzorem:

Okres ten zależy od masy wahadła, a zależność od amplitudy ma znaczenie dopiero dla dużych kątów. Wtedy równanie ruchu przybiera postać:

a jego całkowanie wymaga rozwinięcia w szereg potęgowy Newtona i prowadzi ostatecznie do wzoru na okres drgań:

Dla amplitudy m=5 popełnilibyśmy błąd względny ok. 0.2* opuszczając wyrazy w nawiasie oprócz jedynki. Można więc przyjąć izochronizm wahadła (niezależność okresu od amplitudy) i stosować wzór na okres drgań:

Zasada pomiaru:

Ze wzoru:

wynika, że dla wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego wystarczy zmierzyć długość wahadła i okres jego drgań. Przy pomiarze długości wahadła popełniamy jednak stosunkowo duży błąd. Można tego uniknąć stosując tzw. Wahadło różnicowe. Długość takiego wahadła można zmieniać, a zmiany długości mierzyć stosunkowo dokładnie (np. katetomierzem).

Mierząc dwukrotnie okresy drgań dla dwóch różnych długości otrzymamy dwa równania/:

oraz

które po podniesieniu do kwadratu odejmujemy i przekształcamy do postaci:

Obliczenie błędów:

skoro , a i otrzymamy:

Δt₁=Δt₂=±0,4s, Δl=±0.004m

zatem:

g=9.54±0.79

Dyskusja błędów:

Największy wpływ na wielkość błędu ma w naszym przypadku refleks mierzącego. W obliczeniach należy również uwzględnić błąd paralaksy przy mierzeniu długości wahadła. Podobnie duży wpływ na ów błąd ma liczba mierzonych okresów. Gdyby liczbę tę zwiększyć otrzymany wynik byłby bliższy oczekiwanego 9.81m/s².

Uzupełnienie:

Na wielkość przyspieszenia ziemskiego wpływ ma szerokość geograficzna, gdyż Ziemia nie jest kulą lecz elipsoidą i odległość na biegunach do środka Ziemi jest mniejsza niż na równiku. Ponadto na biegunach siła ciężkości Q jest równa sile grawitacji F_g, natomiast na innej szerokości geograficznej siła ciężkości Q jest równa wypadkowej sił grawitacji F_g i bezwładności F_b (patrz rysunek).

ω

Q=F_g F_b

F_g

W skutek ruchu wirowego Ziemi na naszej półkuli obserwujemy podmywanie prawych (wschodnich) brzegów rzek, zużycie prawych szyn kolejowych, statki kosmiczne startują z zachodu na wschód, woda wypływając z wanny tworzy wir kręcąc się w prawą stronę. Są to efekty działania siły Coriollisa.

Ponieważ siła Fg wyraża się wzorem:

przyspieszenie ziemskie zależy również od wysokości, z tym że dla bardzo małych wysokości są to wielkości niemal niezauważalne.

---