1 TD Rzeszów 2009.10.10

Rok akademicki 2009/10

Kuźniar Mateusz

Gr. L5

Sprawozdanie z laboratorium

Fizyka

Nr ćwiczenia 1

I. Wymagania do ćwiczenia.

1.Prawo powszechnego ciążenia.

Prawo powszechnego ciążenia stwierdza, że wszelkie ciała oddziaływują ze sobą wzajemnie siłą przyciągającą skierowaną wzdłuż prostej łączącej środki obu ciał i mającą wartość:

gdzie: M₁,M₂ - masy oddziaływujących ciał,

R - odległość między środkami mas,

γ - stała grawitacyjna,

Zgodnie z tym prawem ciała znajdujące się w polu grawitacyjnym Ziemi podlegają działaniu grawitacyjnej siły przyciągania. Z uwagi na to, że Ziemia jest układem nieinercjalnym na ciało spoczywające na powierzchni Ziemi obok siły przyciągania grawitacyjnego działają: siła odśrodkowa i siła Coriolisa. Ciało „naciska” na Ziemię siłą równą wypadkowej tych trzech sił zwaną ciężarem.

Ciężar to siła która nadaje ciałom przyspieszenie ziemskie:

gdzie: Q - ciężar ciała,

m - masa ciała,

g - wektor przyspieszenia ziemskiego.

Wartość ciężaru i przyspieszenia ziemskiego zależy od położenia geograficznego i wysokości nad powierzchnią ziemi.

2.Ruch harmoniczny prosty.

Ruch harmoniczny prosty to ruch, w którym następuje okresowa zmienność określonej wielkości fizycznej np. przemieszczenia x.

Układ wykonuje drgania harmoniczne jeżeli działa nań siła zwracająca tzn. siła zawsze skierowana w stronę położenia równowagi o wartości proporcjonalnej do wychylenia x z położenia równowagi:

, gdzie k - współczynnik proporcjonalności.

Z II zasady dynamiki:

(1)

Jest to równanie różniczkowe drugiego rzędu. Jego rozwiązaniem jest funkcja:

(2)

gdzie: ω - częstość kołowa.

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu równania (2) i podstawieniu do równania (1) otrzymujemy:

Jeżeli zwiększymy czas w równaniu (2) o

Wówczas okazuje się, że funkcja x po przyjmuje swą poprzednią wartość.

3.Przykłady ruchu harmonicznego prostego.

Wahadło matematyczne.

Wahadło matematyczne jest to ciało o masie zawieszone na cienkiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici.

Jeżeli wahadło jest odchylone od pionu o kąt φ to pojawia się siła dążąca do zawrócenia wahadła do położenia równowagi.

Dla bardzo małych wychyleń sin φ = φ (φ mierzone w radianach), przemieszczenie ,a ruch jest w przybliżeniu prostoliniowy.

Zatem dla małych drgań ruch wahadła matematycznego jest ruchem harmonicznym prostym a siła F jest siłą zwracającą:

,gdzie:

Okres drgań wahadła matematycznego, można przedstawić wzorem:

,gdzie l - długość wahadła matematycznego.

Wahadło fizyczne.

Jest to dowolne ciało sztywne mogące obracać się wokół poziomej osi nie przechodzącej przez środek masy. Ruch wahadłowy bryły można rozpatrywać jako ruch obrotowy. Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej:

(4)

gdzie: M - moment siły przywracający równowagę bryły (wywołany składową styczną do siły ciężkości),

I - moment bezwładności,

ε - przyspieszenie kątowe.

Moment siły w równaniu (4) można wyrazić jako:

Ponieważ dla bardzo małych wychyleń sinφ = φ więc:

Uwzględniając, że równanie (4) po przekształceniach przyjmuje postać:

gdzie:

Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego.

Zatem zgodnie z (3) okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń można obliczać ze wzoru:

gdzie: m - masa wahadła fizycznego,

d - odległość między środkiem ciężkości a punktem, przez który przechodzi oś obrotu,

I - moment bezwładności,

l_zr - długość zredukowana wahadła fizycznego.

Długość zredukowana wahadła fizycznego jest długością takiego wahadła matematycznego, którego okres drgań jest identyczny jak okres drgań danego wahadła fizycznego.

4. Metoda pomiaru przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła rewersyjnego.

Wahadło rewersyjne jest to wahadło fizyczne, którego konstrukcja umożliwia precyzyjny pomiar długości zredukowanej.

Uzasadnienie teoretyczne pomiaru długości zredukowanej wahadła fizycznego.

(Rysunek)

Jeśli oś obrotu przechodzi przez punkt A to okres drgań wahadła fizycznego względem tego punktu:

gdzie: a - odległość punktu A od środka masy,

I_A - moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez punkt A.

Zgodnie z tw. Steinera: I_A=I₀+ma².

Zatem: (5)

gdzie: I₀ - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy.

Podobnie, jeśli zawiesimy wahadło tak, że oś obrotu przechodzi przez punkt B to:

(6)

b - odległość punktu B od środka masy.

Więc okresy przy obydwu zawieszeniach są równe:

Po podstawieniu do równań (5) i (6) mamy:

Odległość a+b , będąca odległością między punktami zawieszeń A i B, dla których okresy drgań są identyczne, jest równa długości zredukowanej danego wahadła fizycznego.

I_zr=a+b , mamy zatem:

(7)

Budowa wahadła rewersyjnego.

Wahadło rewersyjne składa się z metalowego pręta zaopatrzonego w dwie pary ostrzy O₁ i O₂ , które znajdują się w stałej odległości. Służą one do zawieszania wahadła na odpowiedniej podstawce. Obok ostrzy, na pręcie znajdują się dwie masy: m₁ - umocowana na stałe i m₂ - ruchoma. Masę m₂ można przesuwać wzdłuż pręta pomiędzy punktami A i B zmieniając w ten sposób położenie środka masy wahadła. Przy pewnym położeniu masy m₂ na pręcie okres wahadła rewersyjnego T przy zawieszeniu zarówno na ostrzu O₁ jak i O₂ będzie identyczny. Wyznaczając ten okres drgań i mierząc odległość między ostrzami równą długości zredukowanej wahadła rewersyjnego l_r możemy obliczyć przyspieszenie ziemskie ze wzoru:

(8)

II. Wykonanie ćwiczenia.

III. Tabela.

Lp.	lAn [m]	tAn [s]	tBn [s]	TAn [s]	TBn [s]	lr [m]	T [s]	g±u(g) [m/s^2]
1	1,25	22,69	22,89	2,269	2,289	1,3	2,279
2	1,2	22,57	22,26	2,257	2,226	1,3	2,242
3	1,15	22,18	22,33	2,218	2,233	1,3	2,226
4	1,1	21,91	21,95	2,191	2,195	1,3	2,193
5	1,05	21,25	21,63	2,125	2,163	1,3	2,144
6	1	21,12	21,5	2,112	2,15	1,3	2,131
7	0,95	20,92	21,42	2,092	2,142	1,3	2,117
8	0,9	20,42	21,33	2,042	2,133	1,3	2,088
9	0,85	20,28	21,46	2,028	2,146	1,3	2,087
10	0,8	19,92	21,41	1,992	2,141	1,3	2,067
11	0,75	19,71	21,39	1,971	2,139	1,3	2,055
12	0,7	19,72	21,26	1,972	2,126	1,3	2,049
13	0,65	19,35	21,42	1,935	2,142	1,3	2,039
14	0,6	19,12	21,57	1,912	2,157	1,3	2,035
15	0,55	18,97	21,77	1,897	2,177	1,3	2,037
16	0,5	18,94	21,81	1,894	2,181	1,3	2,038
17	0,45	19,18	21,96	1,918	2,196	1,3	2,057
18	0,4	19,42	22,09	1,942	2,209	1,3	2,076
19	0,35	20,1	22,11	2,01	2,211	1,3	2,111
20	0,3	20,64	22,33	2,064	2,233	1,3	2,148
21	0,25	22,03	22,36	2,203	2,236	1,3	2,220
22	0,2	23,73	22,64	2,373	2,264	1,3	2,319
23	0,15	27,07	23,19	2,707	2,319	1,3	2,513

IV. Obliczenia

1. Szacowanie niepewności.
   Δl=1[mm] = 0,001[m]

Δt=0,2[s]

1. Wzór na niepewność standardową dla l_A: S_xd = $\frac{x_{d}}{\sqrt{3}}$

2. Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy wynik: S_xd =5,77×10^-4[m]

3. Niepewność ΔT obliczamy ze wzoru: u(T)=u(t)/10

4. po podstawieniu do wzoru otrzymamy: ΔT=0,02[s]

V. Wykres – jest to wykres zależności T_A(l_A) i T_B(l_A) dla obu zawieszeń A i B.

VI. Odczytanie wartości z wykresu.

Z wykresu należy odczytać wartości drgań wahadła rewersyjnego odpowiadające punktom przecięcia krzywych T_A(l_A) oraz T_B(l_A) i obliczyć ich średnią arytmetyczną.

Odczytane wartości:
T_A(l_A)=2,26[s]

T_B(l_A)=2,21[s]

T=

Podstawiając do wzoru otrzymujemy: T=2,235[s]

VII. Obliczanie przyspieszenia ziemskiego.

Przyspieszenie ziemskie obliczamy ze wzoru:

g== 10,264 [m/s²]

8. Niepewność pomiaru przyspieszenia ziemskiego.

Niepewność przyspieszenia ziemskiego wynika z niepewności pomiaru okresu wahań wahadła T oraz niepewności pomiaru długości Lr, obliczamy ją ze wzoru:

$$g = g_{\text{obl}}\left( \frac{\text{lr}}{\text{lr}} + \frac{T}{T} \right) = \left( \frac{0,001}{1,30} + \frac{0,02}{2,235} \right) = 0,778$$

8. Porównanie wyniku z wartościami tablicowymi.

Przyspieszenie ziemskie obliczone w ćwiczeniu wynosi:

g=10,264±0, 778 [m/s²]

Przyspieszenie ziemskie odczytane z tablic:

g=9,806 [m/s²]

Wyznaczona wartość przyspieszenia ziemskiego w granicach niepewności pokrywa się z wartością Na niedokładność wykonywanego ćwiczenia wpływ miały: niedokładność pomiaru czasu wahnięć, niedokładność pomiaru odległości pomiędzy masą m₂ a ostrzem A i B, tarcie wahadła.