Politechnika

Częstochowska

Laboratorium z fizyki

Ćwiczenie nr 3

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Wyporski Rafał

Ziętal Marcin

Wydział Budowy Maszyn

Kierunek informatyka

Grupa VI

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Część teoretyczna

1) Ruch harmoniczny prosty

Ruchem harmonicznym prostym nazywamy taki ruch zmienny, w którym siła działająca na drgający obiekt jest wprost proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i zwrócona w stronę położenia równowagi.

F_x = -kx

x- współrzędna położenia ciała w danej chwili zwana wychyleniem.

k- współczynnik proporcjonalności.

Wykazuje podobieństwa do ruchu po okręgu :

• Oba ruchy odbywają się po zamkniętym torze. Ruch harmoniczny po odcinku, drugi ruch po okręgu.

• Oba ruchy są okresowe. Po pewnym czasie T powtarza się zarówno jeden jak i drugi ruch.

• Siła w obu ruchach jest siła dośrodkową.

Wzór na współrzędną x punktu w ruchu harmonicznym ma postać: x=Acos(ωt+ϕ), gdzie A jest promieniem koła (A jest maksymalną wartością jaką może mieć współrzędna x i nazywa się amplitudą ruchu harmonicznego). Kąt α=ωt nazywa się fazą ruchu drgającego, zaś kąt ϕ przesunięciem fazowym.

2) Wyprowadzenie wzoru na okres wahadła fizycznego

Wychodzimy z drugiej zasady dynamiki bryły sztywnej

M/J

  F₁ r = Fr sin  mgr sin

Dla małych kątów można przyjąć, że sin x/r

Stąd

M = mgx

Z zależności przyspieszenia kątowego i liniowego otrzymujemy

a₁/r

mgx = I * a₁/r

stąd a₁= mgxr / I

Natomiast

a₂ = gx / l - przyspieszenie wahadła matematycznego o długości l

Jeżeli a₁ = a₂ to

mgrx / I = gx / l

skąd l = I / mr - długość wahadła matematycznego, dla której porusza się ono z

przyspieszeniem takim samym jak wahadło fizyczne ( w szczególności mają one ten sam okres)

Obliczoną długość podstawiamy do wzoru na okres wahadła matematycznego

T = 2 l/g >    I / mgr - wzór na okres wahadła fizycznego

3) Metody wyznaczania momentu bezwładności bryły oraz środka masy

• Wyznaczanie momentu bezwładności bryły metodą wahadła fizycznego.

Każdą bryłę sztywną zawieszoną na osi przechodzącej powyżej środka masy możemy traktować jako wahadło fizyczne. Bryła, tak zawieszona, po wychyleniu z położenia równowagi porusza się ruchem wahadłowym z okresem

T=2π√(I/mgr)

gdzie I - moment bezwładności bryły względem osi wahań, m-jej masa, r-odległość środka masy od osi wahań.

• wyznaczanie momentu bezwładności bryły za pomocą stolika obrotowego

Stolik obrotowy stanowi pozioma tarcza T umocowana w odpowiednim uchwycie na poziomej osi, obracającej się w łożyskach kulkowych z niewielkim tarciem. Na krążek osadzony na osi nawinięta jest nić, przełożona przez bloczek, a na jej końcu zawieszona jest szalka. Ciężar szalki, łącznie z ciężarem nałożonego odważnika stanowi siłę F_c, pod której działaniem rozpoczyna się ruch jednostajnie przyspieszony układu spadającego, oraz ruch obrotowy przyspieszony talerza T.

• wyznaczanie momentu bezwładności bryły metodą wahadła torsyjnego

Wahadłem torsyjnym nazywamy umocowaną na osi bryłę, która skręcona od położenia równowagi, porusza się ruchem wahadłowym, harmonicznym pod wpływem siły sprężystości.

• Wyznaczanie środka masy

Środek masy ciała wyznacza punkt przecięcia wszystkich kierunków sił pod wpływem których ciało porusza się ruchem postępowym. Środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości ciała.

4) Długość zredukowana wahadła fizycznego

Z definicji l=I/mr

T_m = 2π√l/g - okres drgań wahadła matematycznego

T_f = 2π√I/mgr - okres drgań wahadła fizycznego

T_m =2π√(I/mr)*(1/g)= 2π√I/mgr = T_f

Widzimy, że dla l=I/mr wahadło matematyczne ma taki sam okres drgań jak wahadło fizyczne. Długość tę nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego.

5) Konstrukcja wahadła rewersyjnego

Wahadło rewersyjne zostało wykonane jako stalowy pręt, na którym osadzono dwa zwrócone ku sobie ostrzami noże i dwa krążki. Na pręcie zostały wykonane co 10 mm pierścieniowe nacięcia służące do dokładnego ustalania długości wahadła rewersyjnego (odległość między nożami). Noże i krążki można przemieszczać wzdłuż osi pręta i unieruchamiać w dowolnym położeniu. Elementy te zostały wykonane tak, że ich położenie wzdłuż pręta jest krotnością 10 mm, a pokrętła mocujące umieszczono tak, by korzystając z pierścieniowych nacięć można je było trwale zablokować.

Wspornik dolny wraz z czujnikiem fotoelektrycznym można przemieszczać wzdłuż kolumny

i unieruchamiać w dowolnie wybranym położeniu.

6) Metody pomiaru przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła:

A)wahadła fizycznego

Wahadłem fizycznym nazywamy jakąkolwiek bryłę sztywną zawieszoną na poziomej osi O przechodzącej powyżej środka masy bryły S. Jeżeli bryłę taką odchylimy od położenia równowagi o niewielki kąt ϕ, to poruszać się ona będzie ruchem wahadłowym, harmonicznym o pewnym okresie T, przy czym siłą decydującą o ruchu będzie ciężar wahadła P=mg przyłożony do jego środka ciężkości S. Ruch wahadłowy bryły możemy uważać za szczególny przypadek ruchu obrotowego zmiennego według praw ruchu harmonicznego. Przyspieszenie kątowe ε w tym ruchu jest zmienne, osiągając maksymalną wartość w pozycji zwrotnej wahadła. Dla tej pozycji stosujemy drugą zasadę dynamiki ruchu obrotowego M=Bε, gdzie M-moment siły zewnętrznej, B-moment bezwładności bryły względem osi O. Bryła sztywna, jaką jest wahadło fizyczne, stanowi zbiór wahadeł matematycznych, wśród nich jest jedno, którego okres jest taki sam jak wahadła fizycznego, jest to tzw. wahadło zsynchronizowane, albo zredukowane. Okres drgań takiego wahadła podaje wzór:

T₀=2π√(l₀/g)

A`) wahadła rewersyjnego

Wahadło rewersyjne jest to specjalnie skonstruowane wahadło fizyczne, które pozwala na bardzo dokładny pomiar l₀.Niech C będzie środkiem masy układu leżącym na prostej OA. Na podstawie twierdzenia Steinera moment bezwładności względem osi O określa wyrażenie

B₀= B_c+ma², gdzie B_c oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy. Okres wahań względem osi O można napisać w postaci

T₀=2π√( B_c+ma²)/mga, gdzie a jest odległością środka masy C od osi obrotu. Jeśli zawiesimy wahadło na osi przechodzącej przez punkt A, to okres wahań względem niej będzie

T_A=2π√( B_c+mb²)/mgb, gdzie b jest odległością środka masy od punktu zawieszenia.

Przypuśćmy, że znana jest nam na podstawie przeprowadzonych pomiarów równość okresów

T₀=T_A otrzymamy B_c(a-b)=mab(a-b). Równanie to wyznacza takie położenie środka masy wahadła, które zapewnia omawianą równość okresów. Jest to możliwe, gdy:

(1) a=b, środek masy znajduje się w połowie długości odcinka OA

(2) a-b≠0, wtedy obie strony równania skracamy przez a-b i otrzymujemy B_c=mab, tak więc znajdujemy T₀=T_A=2π√(a+b)/g .

Zależność ta stwierdza, że okres wahadła fizycznego jest taki sam jak okres wahań wahadła zredukowanego o długości l=a+b .

Uzasadniliśmy więc podaną powyżej właściwość punktów O i A wahadła fizycznego, na której opiera się budowa wahadła rewersyjnego.

4π²(a+b)

g = ____

T²

B) matematycznego prostego

Wahadło proste jest to mały ciężarek, najczęściej kulka zawieszony na możliwie najbardziej nieważkiej i nierozciągliwej nici. Kulka odchylona od położenia równowagi i swobodnie puszczona porusza się ruchem drgającym zwanym wahadłowym. Siłą, która decyduje o tym ruchu, jest składowa siły ciężkości, styczna do toru kulki. Na kulkę wahadła działa siła ciężkości P=mg masa jest tu jedynie współczynnikiem proporcjonalności i możemy jej nie uwzględniać. W położeniu równowagi siła ciężkości jest zrównoważona siłą napięcia sprężystego nici. Ruch po łuku jest zmienny okresowo - zgodnie z przebiegiem funkcji sinus. Przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia. Okresem drgań T nazywamy czas, w ciągu którego zachodzi jedno pełne drganie, tak więc

T=2π√l/g

B`) różnicowego

Aby pomiar długości wahadła prostego uczynić dokładniejszym, stosujemy tzw. wahadło różnicowe stanowiące pewną odmianę wahadła prostego. Jest to wahadło proste o przesuwalnym punkcie zawieszenia, przy czym tak skonstruowane, że można w sposób precyzyjny mierzyć nie bezwzględną długość wahadła, lecz zmiany jego długości. Na prostokątnej przytwierdzonej do ściany desce umocowany jest w górnej części metalowy uchwyt A, w którym osadzona jest na stałe cienka struna stalowa o długości 1,5 m; na jej końcu wisi kulka stalowa. Z uchwytem A połączona jest linijka metalowa B, zaopatrzona w podziałkę milimetrową. Wzdłuż niej można przesuwać suwak N z noniuszem i krótkim ramieniem R. Zmieniając położenie suwaka na skali zmieniamy długość wahadła. Na podziałce odczytujemy zmianę długości wahadła Δl.

Δl=l₁- l₂

T₁=2π√(l₁/g) lub (T₁)²=4π²(l₁/g)

T₂=2π√(l₂/g) lub (T₂)²=4π²(l₂/g), tak więc

4π²(l₁-l₂) l₁-l₂ Δl

(T₁)²-(T₂)²= ____ ⇒ g = 4π² _____ ⇒ g = 4π² _______

g (T₁)²-(T₂)² (T₁+T₂) (T₁-T₂)

Opracowanie wyników:

• Wykres zależności okresów drgań T1 i T2 od położenia krążka 2 jest przedstawiony na

rysunku.

• Współrzędne punktu przecięcia T1 = 1,3002 T2 = 1,3024

• Długość zredukowana wahadła l = 41cm = 0,41m

---