Ć w i c z e n i e 4

WYZNACZENIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA

POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO

Cel ćwiczenia - wyznaczyć lokalną wartość przyspieszenia grawitacyjnego.

Sposób wykonania pomiarów pozwala uzyskać 3 zestawy danych pomiarowych.

4.1 Opis teoretyczny

Wahadłem fizycznym nazywamy ciało sztywne wahające się wokół poziomej osi obrotu
O pod wpływem siły ciężkości (rys. 4.1). Oś obrotu nie może pokrywać się ze środkiem cięż-
kości wahadła S, bo wówczas drganie by nie występowało. Okres drgań wahadła fizycznego
opisuje teoretycznie zależność :

a

g

m

I

π

2

T

=

(4.1)

gdzie:

a – odległość między osią zawieszenia i środkiem ciężkości,

I – moment bezwładności wahadła

Chcąc na bazie powyższego wzoru wyznaczyć przyśpieszenie ziemskie g należy oprócz

okresu drgań T i masy wahadła m (które można zmierzyć bezpośrednio) znać również wielko-
ści a oraz I (których pomiar jest kłopotliwy). Aby tych trudności uniknąć, w ćwiczeniu stosu-
jemy wahadło fizyczne o dwóch osiach obrotu (O

1

, O

2

) umieszczonych po przeciwnych stro-

nach środka ciężkości S (rys. 4.2). Jest to tzw. wahadło rewersyjne dla którego okresy drgań
są takie same dla obu zawieszeń wahadła.

Jeżeli punkt O

1

(rys. 4.2) jest punktem zawieszenia, to okres wahań

a

g

m

I

π

2

T

1

1

=

(4.2)

gdzie I

1

jest momentem bezwładności wahadła względem osi O

1

Analogicznie dla drugiej osi obrotu okres wahań

b

g

m

I

π

2

T

2

2

=

(4.3)

gdzie:

I

2

– moment bezwładności wahadła względem osi O

2

,

b – odległość między drugą osią zawieszenia a środkiem ciężkości

Na podstawie twierdzenia Steinera o momentach bezwładności wiemy, że:

2

S

1

a

m

I

I

+

=

(4.4)

2

S

2

b

m

I

I

+

=

gdzie I

S

jest momentem bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez środek cięż-

kości.

Rys. 4.1. Wahadło fizyczne. Rys. 4.2. Dwuosiowe wahadło fizyczne.

Dla wahadła rewersyjnego okresy T

1

i T

2

są równe. Wtedy za (4.2) i (4.3) mamy

b

I

a

I

2

1

=

.

Uwzględniając (4.4) otrzymujemy

b

b

m

I

a

a

m

I

2

S

2

S

+

=

+

czyli:

0

)

ab

m

I

)(

a

-

b

(

S

=

−

(4.5)

Przypadek, gdy b=a nic nie mówi o wzajemnym położeniu osi O

1

, O

2

i może zajść, gdy mamy

ciało zarazem sztywne i symetryczne. Natomiast z równania

0

ab

m

I

S

=

−

mamy:

b

a

m

I

S

=

(4.6)

Po podstawieniu (4.4) i (4.6) do (4.2) otrzymujemy zależność:

g

l

π

2

g

a)

(b

π

2

a

g

m

a)

(b

a

m

π

2

a

g

m

a

m

I

π

2

T

T

T

zr

2

S

2

1

=

+

=

+

=

+

=

=

=

(4.7)

Wielkość l

zr

nazywamy długością zredukowaną wahadła rewersyjnego i jak widać z (4.7) jest

ona równa l

zr

=a+b czyli odległości między osiami obrotu wahadła którą można łatwo zmierzyć

liniałem.

Widzimy więc, że okres wahań wahadła zawieszonego na osi O

1

jest równy okresowi wahań

tego wahadła zawieszonego w punkcie O

2

odległym od punktu O

1

o długość zredukowaną. Na

tej podstawie zarysowała się idea prostego i dokładnego pomiaru

przyspieszenia ziemskiego,

bez wyznaczania I

S

, m oraz położenia środka ciężkości tylko przez łatwy pomiar odległości

między osiami obrotu oraz okresu T.

Jak jednak praktycznie znaleźć osie, dla których jest słuszny warunek
(4.6) mając bryłę o zadanym już kształcie, a więc o z góry ustalanym
położeniu środka masy S oraz wartościach I i m? Praktycznie przesu-
wanie osi obrotu jest bardzo trudne. Znacznie łatwiej postąpić odwrot-
nie - zamocować na stałe obie osie, zmieniać zaś położenie środka
masy, a wraz z nim I

S

aż do spełnienia warunku T

1

= T

2 .

Tak też postę-

pujemy w ćwiczeniu (rys 4.3). Na pręcie mającym na stałe zainstalowa-
ne dwie osie obrotu umieszczamy (między osiami) ciężarek nadziany
wcześniej na pręt. Przesuwając ciężarek wzdłuż pręta i mierząc okresy
względem obu osi poszukujemy sytuacji, w której T

1

= T

2

.

Aby doświadczalnie wykluczyć sytuację, w której b = a wprowadza się
dużą asymetrię wstępną wahadła zwykle poprzez dodatkowe jeden lub
dwa przesuwalne ciężarki umieszczone poza osiami. Sprawdzimy jesz-
cze, czy dla takiego wahadła na pewno będzie istniało między osiami
położenie ciężarka, przy którym zajdzie oczekiwana sytuacja, czyli
związek (4.6). Możemy go zapisać w postaci:

(

)

m

I

a

l

a

S

zr

=

−

(4.8)

Przesunięcie ciężarka zmienia niewiadomą "a" w równaniu, ale również
wpływa na wartość I

S

. Ponieważ lewa strona równania (4.8) ma postać

równania drugiego stopnia, ogólnie można spodziewać się dwóch roz-
wiązań dla a, czyli dwóch różnych wartości położenia soczewki, przy
których pełnienie warunku (4.6) umożliwia obliczenie przyśpieszenia
ziemskiego (rys. 4.4). To jednak, czy rozwiązania takie będą istniały za-
leży od konkretnych wartości I

S

. Należy zaznaczyć, że pomiary należy

wykonywać przy małych amplitudach wychyleń wahadła (nie większych
niż 5

0

-10

0

). Tylko wtedy spełnione będzie przybliżenie, że wahadło wy-

konuje drgania harmoniczne.

Rys. 4.3. Laboratoryjny model wahadła fizycznego.

Rys.4.4. Zależność okresu wahań od położenia soczewki wahadła.

4.2. Układ pomiarowy

Zestaw pomiarowy składa się z wahadła fizycznego o dwu osiach obrotu (podobnego do tego
z (rys. 4.3)) oraz układu elektronicznego pozwalającego mierzyć czas określonej, pełnej liczby
wahań wahadła.

4.3. Wykonanie pomiarów

1. Zawiesić wahadło na osi O

1

i dokonać pomiaru kilku - kilkunastu okresów jego drgań

zmieniając położenie środkowego ciężarka w dostępnym zakresie długości wahadła, np.:



9 okresów, zmieniając położenie ciężarka co 100 mm od 100 mm do 900 mm, albo



15 okresów, zmieniając położenie ciężarka co 50 mm od 150 mm do 850 mm.

2. Zapisać wyniki pomiarów z punktu 1 w formie tabeli.

3. Zawiesić wahadło na osi O

2

i dokonać pomiaru okresów jego drgań przy tych samych od-

ległościach środkowego ciężarka od osi obrotu co w punkcie 1.

4. Zapisać wyniki pomiarów z punktu 3 w formie tabeli.

5. Naszkicować, analogicznie do (rys. 4.4), zależności okresów T

1

oraz T

2

od odległości cię-

żarka od osi obrotu wykorzystując dane z tabel z punktów 2 i 4 zapisanych np. w formie:

Odległość od osi obrotu [mm] 100 200 300 400 500 600 700 800 900

czas T

1

[s]

czas T

2

[s]

6. Zorientować się, w których miejscach otrzymane na wspólnym wykresie krzywe przecinają

się (pomiędzy którymi punktami pomiarowymi). Przecięcia te umownie oznaczamy jako
Lewe oraz Prawe.

7. Zawiesić wahadło na osi O

1

i dokonać pomiaru kilku okresów jego drgań zmieniając poło-

żenie środkowego ciężarka w pobliżu Lewego punktu przecięcia się krzywych T

1

i T

2

. Na-

leży starać się by punkt przecięcia krzywych z (rys. 4.4) leżał w pobliżu środka badanego
przedziału. Zmierzyć np. 11 okresów, zmieniając położenie ciężarka co np. 10 mm.

7.a. Jeżeli ćwiczenie wykonuje zespół wykonać analogiczne pomiary w pobliżu Prawego
punktu przecięcia się krzywych T

1

i T

2

. Pomiary te posłużą drugiemu z członków zespołu

do opracowania ćwiczenia.

8. Zawiesić wahadło na osi O

2

i dokonać analogicznych pomiarów jak w punkcie 7 dla Lewe-

go punktu przecięcia się krzywych T

1

i T

2

.

8.a. Jeżeli ćwiczenie wykonuje zespół wykonać analogiczne pomiary w pobliżu Prawego
punktu przecięcia się krzywych T

1

i T

2

.

9. Jeżeli zespół liczy trzy osoby, to w punkcie 7 i 7.a wykonujemy więcej pomiarów mierząc

np. 15 okresów. Trzecia osoba wykonuje opracowanie w oparciu o 11 pomiarów (tak jak
osoba pierwsza), ale bez uwzględniania 4-ch punktów ze środka przedziału.

10. Zmierzyć długość zredukowaną wahadła l

zr

.

11. Oszacować niepewności pomiaru czasu

∆

T i długości zredukowanej

∆

l

zr

.

4.4. Opracowanie wyników pomiarów

1. Każdy ćwiczący wykonuje opracowanie dla swojego zestawu danych pomiarowych.

2. Wykreślić, otrzymane przy zagęszczonych położeniach ciężarka, zależność czasów T

1

i T

2

od położenia ciężarka względem osi obrotu. Obie krzywe (T

1 ,

T

2

) przybliżyć prostymi

wyznaczonymi metodą najmniejszych kwadratów Gaussa:

b

x

a

y

+

=

gdzie

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

−













−

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

x

n

x

y

x

n

y

x

a

1

2

2

1

1

1

1

)

(

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

−













−

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

x

n

x

x

y

y

x

x

b

1

2

2

1

1

2

1

1

1

3. Wyznaczyć punkt przecięcia prostych i odczytać wartość T

0

= T

1

= T

2

.

4. Oszacować niepewność

∆

T

0

wyznaczenia T

0

z wykresu z uwzględnieniem wartości nie-

pewności

∆

T bezpośredniego pomiaru czasu.

3.a. Zadanie dla chętnych - wyznaczyć analitycznie niepewność

∆

T

0

.

5. Korzystając ze wzoru (4.7) w postaci

g

l

π

2

T

zr

0

=

wyznaczyć wartość lokalnego przy-

spieszenia grawitacyjnego g.

6. Obliczyć niepewność

∆

g według wzoru









∆

+

∆

=

∆

0

0

zr

zr

T

T

2

l

l

g

g

Uwagi do analizy wyników:



podać wyznaczoną wielkość g oraz jej niepewność

∆

g,



podać niepewność względną

∆

g/g,



podać procentowy wpływ niepewności składowych

∆

l

zr

oraz

∆

T

0

na wartość niepew-

ności wyznaczonej

∆

g ,



podać wartość teoretyczną g

teoretyczne

,



na podstawie w/w wartości, opracowanych tabel i wykresów oraz własnych spostrze-
żeń wyciągnąć wnioski co do przyczyn występowania błędów grubych, systematycz-
nych i przypadkowych.

4.5. Przykładowe pytania kontrolne

1. Co nazywamy długością zredukowana wahadła fizycznego ?

2. Jak brzmi twierdzenie Steinera ?

3. Jaką przewagę ma pomiar przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

nad pomiarem za pomocą wahadła fizycznego?

4.

Jakiego rzędu różnice wysokości (nad poziom morza) punktów w których dokonywane są
pomiary będą miały wpływ na wynik wyznaczanego przyspieszenia ziemskiego?

5. Dlaczego amplituda kątowa wahań wahadła nie powinna być większa niż 10°?

6.

Jak zależy wartość g od szerokości, długości geograficznej, odległości od środka Ziemi
(przybliżenie - Ziemia to kula)?

L i t e r a t u r a

[1] Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna, cz. I; Mechanika i akustyka. PWN, Warszawa
1972.

[2] Piekara A.: Mechanika ogólna. PWN, Warszawa 1973.